---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - metod
förkunskaper:
  - "[[Punktskattning]]"
  - "[[Normalfördelning]]"
status: utkast
aliases:
  - Konfidensgrad
  - Felmarginal
  - Intervallskattning
  - Konfidensintervall för väntevärde
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Punktskattning]], [[Normalfördelning]]

---

Ett konfidensintervall är ett intervall, beräknat ur stickprovet, som med en angiven konfidensgrad täcker den okända parametern. Konfidensgraden avser metoden och inte det enskilda intervallet: upprepade stickprov ger intervall som i exempelvis $95\ \%$ av fallen innehåller det sanna värdet.

---

## 1. Definitionen

Ett **konfidensintervall** $I_\theta$ för parametern $\theta$ med **konfidensgrad** $1-\alpha$ är ett intervall vars gränser är stickprovsvariabler, konstruerat så att

$$
P(\theta\in I_\theta) = 1 - \alpha
$$

Sannolikheten gäller *innan* vi har observerat: gränserna är slumpmässiga, $\theta$ är fix. När vi sätter in de observerade värdena får vi ett tal-intervall, och det antingen innehåller $\theta$ eller inte.

![[lek11-konfidensintervall-simulering.png|600]]

Figuren visar 50 stickprov från samma fördelning, vart och ett med sitt $90\ \%$-intervall. De flesta täcker det sanna $\mu$; ungefär vart tionde missar. Vi vet aldrig om just vårt intervall är ett av de som missar — konfidensgraden säger hur ofta metoden lyckas.

---

## 2. Härledning: $\mu$ i $N(\mu,\sigma)$ med känt $\sigma$

Anta att $\xi_1,\dots,\xi_n$ är oberoende och $N(\mu,\sigma)$, med $\sigma$ känd. Den bästa [[Punktskattning|punktskattningen]] är $\mu^* = \bar\xi$, och $\bar\xi\in N(\mu,\ \sigma/\sqrt n)$. Standardisera:

$$
\dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma/\sqrt n}\in N(0,1)
$$

Med kvantilen $\lambda_{\alpha/2}$, där $P(\eta > \lambda_{\alpha/2}) = \alpha/2$ för $\eta\in N(0,1)$, gäller

$$
P\left(-\lambda_{\alpha/2} < \dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma/\sqrt n} < \lambda_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha
$$

Lös ut $\mu$ ur olikheterna:

$$
P\left(\bar\xi - \lambda_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n} < \mu < \bar\xi + \lambda_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right) = 1 - \alpha
$$

Ersätt $\bar\xi$ med det observerade $\bar x$:

$$
\boxed{I_\mu = \left[\bar x - \lambda_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \ \bar x + \lambda_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right]}
$$

| Konfidensgrad | $90\ \%$ | $95\ \%$ | $99\ \%$ |
|---|---|---|---|
| $\lambda_{\alpha/2}$ | $1{,}6449$ | $1{,}9600$ | $2{,}5758$ |

---

## 3. Vad bestämmer intervallets bredd?

Intervallets bredd är $2\lambda_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$. Allt annat lika:

| Ändring | Effekt på bredden |
|---|---|
| högre konfidensgrad | större $\lambda_{\alpha/2}$ — **bredare** |
| större spridning $\sigma$ | **bredare** |
| fler observationer $n$ | **smalare**, som $1/\sqrt n$ |

> [!warning] Säkerhet kostar precision
> Ett $100\ \%$-intervall finns alltid — hela reella axeln — men säger ingenting. Konfidensgraden och bredden står i motsats till varandra, och det enda sättet att få både hög säkerhet och ett smalt intervall är fler observationer.

---

## 4. Välj rätt metod

Tre metoder för läget i en fördelning, beroende på vad vi vet i förväg:

| Förutsättning | Intervall | Not |
|---|---|---|
| Kontinuerlig fördelning, inget mer | $[\xi_{(k+1)},\ \xi_{(n-k)}]$ för medianen | [[Teckenintervall]] |
| Normalfördelning, $\sigma$ **känd** | $\bar x \pm \lambda_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$ | denna not |
| Normalfördelning, $\sigma$ **okänd** | $\bar x \pm t_{\alpha/2}(n-1)\,s/\sqrt n$ | [[t-fördelningen]] |

Jämförelser mellan två metoder eller grupper leder vidare till [[Stickprov i par]] och [[Två stickprov]].

> [!tip] Tolka intervallet i ord
> Ett svar är inte klart förrän intervallet är tolkat: "Med $95\ \%$ säkerhet ligger den förväntade halten mellan $0{,}11$ och $0{,}39$." Vid jämförelser: ingår $0$ i intervallet för skillnaden kan vi inte påvisa någon skillnad.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Fel kvantil.** Ett tvåsidigt intervall med konfidensgrad $1-\alpha$ använder $\lambda_{\alpha/2}$; för $95\ \%$ är det $1{,}96$, inte $1{,}645$.
> - **Tolkning.** "$\mu$ ligger i intervallet med sannolikhet $95\ \%$" är fel efter observationen; det är *metoden* som träffar i $95\ \%$ av fallen.
> - **$\sigma$ känd eller skattad.** Har $\sigma$ skattats ur samma data gäller [[t-fördelningen|$t$-intervallet]].

---

## 5. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 11, övning 3 och 4 (Vännman 8.9) — Halten av ett ämne
> Halten (%) av ett visst ämne i en råvara mäts sex gånger. Mätvärdena kan betraktas som observationer från $N(\mu,\sigma)$ med $\sigma = 0{,}2$ känd:
>
> $$5{,}68 \quad 5{,}58 \quad 5{,}98 \quad 6{,}30 \quad 4{,}93 \quad 4{,}98$$
>
> a) Härled och beräkna ett konfidensintervall för $\mu$ med konfidensgrad $0{,}90$. Gå igenom stegen: fördelningen för $\xi_i$, bästa punktskattningen av $\mu$, intervallskattningen, och till sist insättning av observationerna.
>
> b) (Övning 4.) Är det troligt att halten $\mu$ är $6{,}0\ \%$?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Modell.** $\xi_i$ = mätvärde nr $i$, $\xi_i\in N(\mu,\ 0{,}2)$, $i = 1,\dots,6$, oberoende.
> >
> > **Punktskattning.** $\mu^* = \bar\xi\in N(\mu,\ 0{,}2/\sqrt6)$. Observerat: $\bar x = 5{,}575$.
> >
> > **Intervallskattning.** Vi söker $a$ så att $P(\bar\xi - a < \mu < \bar\xi + a) = 0{,}90$:
> > $$
> > 0{,}90 = P\left(-\dfrac{a}{\sigma/\sqrt6} < \dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma/\sqrt6} < \dfrac{a}{\sigma/\sqrt6}\right) = 2\,\Phi\!\left(\dfrac{a}{\sigma/\sqrt6}\right) - 1
> > $$
> > Alltså $\Phi\big(a/(\sigma/\sqrt6)\big) = 0{,}95$, så $a/(\sigma/\sqrt6) = \lambda_{0{,}05} = 1{,}6449$ och
> > $$
> > a = 1{,}6449\cdot\dfrac{0{,}2}{\sqrt6} \approx 0{,}134
> > $$
> >
> > **a)**
> > $$
> > I_\mu = [5{,}575 - 0{,}134;\ \ 5{,}575 + 0{,}134] = \boxed{[5{,}44;\ 5{,}71]}
> > $$
> > Med $90\ \%$ säkerhet ligger den förväntade halten mellan $5{,}44$ och $5{,}71\ \%$.
> >
> > **På räknaren.** `menu` → Statistics → Confidence Intervals → z Interval med **Stats**: $\sigma$ = `0.2`, $\bar x$ = `5.575`, $n$ = `6`, `C Level` = `0.9`.
> >
> > **b)** $6{,}0$ ingår inte i intervallet. Det är därför **inte troligt** att $\mu = 6{,}0\ \%$ — metoden ger intervall som missar $\mu$ bara i $10\ \%$ av fallen.
> >
> > *Facit (övning 4): Nej, eftersom 6 inte ingår i intervallet. Intervallet stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.*

> [!example]- Lektion 11, övning 5 — Vad påverkar bredden?
> Utgå från intervallet i övning 3 ($\sigma = 0{,}2$, $n = 6$, konfidensgrad $90\ \%$). Hur påverkas intervallet av
>
> a) konfidensgraden — vad händer om den blir $80\ \%$? $99\ \%$?
>
> b) spridningen — vad händer om $\sigma = 0{,}4$? $\sigma = 0{,}1$?
>
> c) antalet mätvärden — vad händer om $n = 10$? $n = 4$?
>
> > [!note]- Lösning
> > Bredden är $2\lambda_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$; i utgångsläget $2\cdot0{,}134 = 0{,}269$.
> >
> > | Ändring | Bredd |
> > |---|---|
> > | $80\ \%$ ($\lambda = 1{,}2816$) | $0{,}209$ |
> > | $99\ \%$ ($\lambda = 2{,}5758$) | $0{,}421$ |
> > | $\sigma = 0{,}4$ | $0{,}537$ |
> > | $\sigma = 0{,}1$ | $0{,}134$ |
> > | $n = 10$ | $0{,}208$ |
> > | $n = 4$ | $0{,}329$ |
> >
> > **a)** Ökad konfidensgrad ger **bredare** intervall.
> >
> > **b)** Ökad standardavvikelse ger **bredare** intervall — bredden är proportionell mot $\sigma$.
> >
> > **c)** Fler mätvärden ger **smalare** intervall, men bara som $1/\sqrt n$.
> >
> > *Facit: a) ökad konfidensgrad ger bredare intervall, b) ökad standardavvikelse ger bredare intervall, c) ökad stickprovsstorlek ger smalare intervall — allt annat lika.*

> [!example]- Lektion 12, övning 1 — Känd standardavvikelse
> Observationerna nedan kan betraktas som observationer från $N(\mu,\sigma)$. Anta att $\sigma = 0{,}2$ är känd i förväg. Beräkna ett $95\ \%$ konfidensintervall för $\mu$ och tolka det i ord.
>
> $$0{,}5 \quad 0{,}2 \quad 0{,}3 \quad -0{,}2 \quad 0{,}3 \quad 0{,}3 \quad 0{,}4 \quad 0{,}2$$
>
> > [!note]- Lösning
> > **Modell.** $\xi_i\in N(\mu,\ 0{,}2)$, $i = 1,\dots,8$, oberoende.
> >
> > $\bar x = 2{,}0/8 = 0{,}25$ och $\lambda_{0{,}025} = 1{,}96$:
> > $$
> > I_\mu = \left[0{,}25 \mp 1{,}96\cdot\dfrac{0{,}2}{\sqrt8}\right] = [0{,}25 \mp 0{,}139] = \boxed{[0{,}11;\ 0{,}39]}
> > $$
> >
> > **Tolkning.** Med $95\ \%$ säkerhet ligger det förväntade värdet $\mu$ mellan $0{,}11$ och $0{,}39$.
> >
> > Samma data med $\sigma$ okänd finns i [[t-fördelningen]].
> >
> > **På räknaren.** z Interval med **Data** (listan med de åtta värdena), $\sigma$ = `0.2`, `C Level` = `0.95`.
> >
> > *Facit: [0,11; 0,39].*

---

## Se även

- [[Punktskattning]]
- [[t-fördelningen]]
- [[Teckenintervall]]
- [[Stickprov i par]]
- [[Två stickprov]]
- [[Konfidensintervall och hypotesprövning]]

## Resurser

- [Khan Academy: Confidence intervals](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/confidence-intervals-one-sample)
- [Wikipedia: Konfidensintervall](https://sv.wikipedia.org/wiki/Konfidensintervall)


---

← [[Teckenintervall]] · [[S0008M]] · [[t-fördelningen]] →