Standardiserad normalfördelning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Normalfördelning

---

Den standardiserade normalfördelningen är $N(0,1)$, normalfördelningen med väntevärde $0$ och standardavvikelse $1$. Varje normalfördelning kan föras över till den genom att vi drar bort väntevärdet och delar med standardavvikelsen, och därför räcker en enda tabell: $\Phi (x)$ för sannolikheter och ${\lambda }_{\alpha }$ för kvantiler.

---

1. $N(0,1)$ och $\Phi$

Är $\xi \in N(0,1)$ blir frekvensfunktionen

$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

och fördelningsfunktionen betecknas med ett eget tecken:

$$\boxed{\Phi (x)=P(\xi \le x)}$$

$\Phi (x)$ är den ljusa arean till vänster om $x$. Kursbokens normalfördelningstabell ger $\Phi (x)$ för $x\ge 0$.

---

2. Symmetrin

Kurvan är symmetrisk kring $0$: arean till vänster om $-x$ är lika stor som arean till höger om $x$. Alltså

$$\boxed{\Phi (-x)=1-\Phi (x)}$$

Därför behöver tabellen bara positiva $x$. Två följder som används hela tiden:

$$P(\xi >x)=1-\Phi (x),P(-x<\xi <x)=2\Phi (x)-1$$

Rita alltid figuren

Skissa klockan, markera gränserna och skugga den sökta arean innan du slår i tabellen. Då syns direkt om svaret ska vara större eller mindre än $0,5$, och om symmetrin behövs.

---

3. Standardisering

Sats 6.1. Om $\xi \in N(\mu ,\sigma )$ så är

$$\boxed{\frac{\xi -\mu }{\sigma }\in N(0,1)}$$

Satsen är en omformulering av Sats 4.2 i normalfördelningen: $P(\xi \le x)=P((\xi -\mu )/\sigma \le (x-\mu )/\sigma )=\Phi ((x-\mu )/\sigma )$. Att bilda $(\xi -\mu )/\sigma$ kallas att standardisera eller normera $\xi$. Det fungerar eftersom en linjär funktion av en normalfördelad variabel är normalfördelad, och räknereglerna för väntevärde och varians ger väntevärde $0$ och standardavvikelse $1$.

---

4. Kvantiler: ${\lambda }_{\alpha }$

Ofta frågar vi baklänges: vilket $x$ har en given sannolikhet ovanför sig? För $\xi \in N(0,1)$ definieras ${\lambda }_{\alpha }$ av

$$\boxed{P(\xi >{\lambda }_{\alpha })=\alpha },\text{alltsa˚}\Phi ({\lambda }_{\alpha })=1-\alpha$$

${\lambda }_{\alpha }$ är den mörka svansen i figuren ovan. Kursboken har en egen tabell för de vanligaste $\alpha$, och på miniräknaren ger invNorm(1-α) samma sak. I annan litteratur skrivs ${\lambda }_{\alpha }$ ofta $z_{\alpha }$.

$\alpha$	$0,10$	$0,05$	$0,025$	$0,01$	$0,005$	$0,001$
${\lambda }_{\alpha }$	$1,2816$	$1,6449$	$1,9600$	$2,3263$	$2,5758$	$3,0902$

På grund av symmetrin är $P(\xi <-{\lambda }_{\alpha })=\alpha$, och $P(-{\lambda }_{\alpha /2}<\xi <{\lambda }_{\alpha /2})=1-\alpha$. Det sista är grunden för konfidensintervall.

Vanliga fel

• Dela med variansen. Standardiseringen är $(\xi -\mu )/\sigma$ med standardavvikelsen, inte ${\sigma }^2$.
• Negativa argument. Tabellen saknar negativa värden; använd $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$.
• Blanda ihop $\Phi$ och ${\lambda }_{\alpha }$. $\Phi (x)$ är sannolikheten till vänster; ${\lambda }_{\alpha }$ har sannolikheten $\alpha$ till höger, så ${\lambda }_{0,025}=1,96$.
• normCdf med varians. Räknaren vill ha $\sigma$ som sista argument, inte ${\sigma }^2$.

---

5. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 7, övning 4 — Mätfel

Mätfelet $\xi$ är normalfördelat $N(0,1)$. Skissa frekvensfunktionen och markera de sökta sannolikheterna. Beräkna

a) $P(\xi >1,75)$,

b) $P(\xi <-1,75)$,

c) $P(-0,78<\xi <2,13)$.

Bestäm talet $a$ så att

d) $P(\xi >a)=0,025$,

e) $P(\xi <a)=0,001$.

Lösning

a)

$$P(\xi >1,75)=1-\Phi (1,75)\approx 1-0,9599=\boxed{0,040}$$

b) Symmetrin: vänstersvansen under $-1,75$ är lika stor som högersvansen över $1,75$:

$$P(\xi <-1,75)=\Phi (-1,75)=1-\Phi (1,75)\approx \boxed{0,040}$$

c)

$$P(-0,78<\xi <2,13)=\Phi (2,13)-\Phi (-0,78)=\Phi (2,13)-(1-\Phi (0,78))\approx 0,9834-1+0,7823=\boxed{0,766}$$

d) Per definition är $a={\lambda }_{0,025}$:

$$a={\lambda }_{0,025}\approx \boxed{1,96}$$

e) Svansen till vänster har sannolikheten $0,001$, så $a$ är negativt. Symmetrin ger $P(\xi <-{\lambda }_{0,001})=0,001$:

$$a=-{\lambda }_{0,001}\approx \boxed{-3,09}$$

På räknaren. a) normCdf(1.75,∞), c) normCdf(-0.78,2.13), d) invNorm(0.975), e) invNorm(0.001).

Facit: a) 0,040, b) 0,040, c) 0,766, d) 1,96, e) −3,09.

---

Se även

• Normalfördelning
• Fördelningsfunktion
• Linjära funktioner av stokastiska variabler
• Konfidensintervall
• Hypotesprövning

Resurser

• Khan Academy: Normal distributions
• Wikipedia: Standard normal table

---

← Normalfördelning · S0008M · Median och kvantiler →