Normalapproximation

Kurs: S0008M Förkunskaper: Centrala gränsvärdessatsen, Binomialfördelning

---

Diskreta fördelningar som binomial- och Poissonfördelningen kan approximeras med normalfördelningen när väntevärdet och spridningen är tillräckligt stora. Approximationen följer av centrala gränsvärdessatsen och kan förbättras med halvkorrektion.

---

1. Binomialfördelningen

En binomialfördelad variabel $\xi \in \text{Bin}(n,p)$ är en summa av $n$ oberoende variabler som var och en är $1$ med sannolikheten $p$ och $0$ annars. Centrala gränsvärdessatsen ger därför, med samma väntevärde och standardavvikelse,

$$\boxed{\xi \approx N\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)\text{om }np(1-p)\ge 10}$$

Villkoret säger att variansen ska vara stor nog. Är $p$ nära $0$ eller $1$ är fördelningen skev, och då krävs ett större $n$.

---

2. Poissonfördelningen

En Poissonfördelad variabel $\xi \in \text{Po}(\lambda )$ har $E(\xi )=V(\xi )=\lambda$, och för stora $\lambda$ gäller

$$\xi \approx N\left(\lambda ,\sqrt{\lambda }\right)$$

Som tumregel används approximationen när $\lambda \ge 15$; kontrollera gränsen mot kursens formelblad.

---

3. Halvkorrektion

En diskret variabel lägger all sin massa på heltalen, medan normalkurvan sprider den kontinuerligt. Stapeln för värdet $k$ motsvaras av ytan under kurvan från $k-0,5$ till $k+0,5$. Därför blir approximationen bättre om vi flyttar gränsen ett halvt steg:

$$P(\xi \le k)\approx \Phi \left(\frac{k+0,5-\mu }{\sigma }\right)$$

Samma händelse, olika svar utan halvkorrektion

För heltalsvärda $\xi$ är $P(\xi \ge 200)$ och $1-P(\xi \le 199)$ samma sak. Utan halvkorrektion ger normalapproximationen ändå olika svar beroende på om gränsen sätts vid $200$ eller $199$. Halvkorrektionen lägger gränsen mitt emellan, vid $199,5$.

I kursens facit används inte halvkorrektion, om inte annat anges.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 10, övning 7 (Vännman 6.37) — Instrument i en förpackning

Ett instrument består av tre komponenter som var och en är defekt med sannolikheten $0,25$, oberoende av varandra. Instrumentet fungerar om högst en av komponenterna är defekt. En förpackning innehåller 240 instrument, oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att minst 200 av dem fungerar?

Lösning

Ett instrument. Låt ${\xi }_k$ = antal defekta komponenter i instrument $k$, ${\xi }_k\in \text{Bin}(3;0,25)$.

$$P(\text{instrument }k\text{ fungerar})=P({\xi }_k\le 1)=0,75^3+3\cdot 0,25\cdot 0,75^2=0,84375$$

Förpackningen. Låt $\eta$ = antal fungerande instrument, $\eta \in \text{Bin}(240;0,84375)$, med

$$E(\eta )=240\cdot 0,84375=202,5,V(\eta )=202,5\cdot 0,15625\approx 31,64,\sigma \approx 5,625$$

Eftersom $np(1-p)\approx 31,6\ge 10$ är approximativt $\eta \approx N(202,5;5,625)$.

Sannolikheten.

$$P(\eta \ge 200)\approx 1-\Phi \left(\frac{200-202,5}{5,625}\right)=\Phi (0,444)\approx \boxed{0,67}$$

Känsligheten för gränsen. Skriver vi i stället $P(\eta \ge 200)=1-P(\eta \le 199)$ ger samma approximation $\Phi (0,622)\approx 0,73$. Med halvkorrektion, gränsen vid $199,5$, blir det $\Phi (0,533)\approx 0,703$. Den exakta binomialsannolikheten är $0,708$ — halvkorrektionen hamnar klart närmast.

På räknaren. Det exakta värdet: binomCdf(240,0.84375,200,240).

Uppgiften (Vännman 6.37, i 2:a uppl. 6.36) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och alla fyra värden stämmer med det.

---

Se även

• Centrala gränsvärdessatsen
• Binomialfördelning
• Poissonfördelning
• Normalfördelning
• Standardiserad normalfördelning

Resurser

• Khan Academy: Normal approximation to binomial
• Wikipedia: Continuity correction

---

← Centrala gränsvärdessatsen · S0008M · Statistisk inferens →