---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - approximation
förkunskaper:
  - "[[Centrala gränsvärdessatsen]]"
  - "[[Binomialfördelning]]"
status: utkast
aliases:
  - Normalapproximationen
  - Halvkorrektion
  - Kontinuitetskorrektion
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Centrala gränsvärdessatsen]], [[Binomialfördelning]]

---

Diskreta fördelningar som binomial- och Poissonfördelningen kan approximeras med normalfördelningen när väntevärdet och spridningen är tillräckligt stora. Approximationen följer av centrala gränsvärdessatsen och kan förbättras med halvkorrektion.

---

## 1. Binomialfördelningen

En [[Binomialfördelning|binomialfördelad]] variabel $\xi\in\text{Bin}(n,p)$ är en summa av $n$ oberoende variabler som var och en är $1$ med sannolikheten $p$ och $0$ annars. [[Centrala gränsvärdessatsen]] ger därför, med samma väntevärde och standardavvikelse,

$$
\boxed{\xi \approx N\!\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right) \quad\text{om } np(1-p)\ge 10}
$$

Villkoret säger att variansen ska vara stor nog. Är $p$ nära $0$ eller $1$ är fördelningen skev, och då krävs ett större $n$.

---

## 2. Poissonfördelningen

En [[Poissonfördelning|Poissonfördelad]] variabel $\xi\in\text{Po}(\lambda)$ har $E(\xi) = V(\xi) = \lambda$, och för stora $\lambda$ gäller

$$
\xi \approx N\!\left(\lambda,\ \sqrt\lambda\right)
$$

Som tumregel används approximationen när $\lambda\ge 15$; kontrollera gränsen mot kursens formelblad.

---

## 3. Halvkorrektion

En diskret variabel lägger all sin massa på heltalen, medan normalkurvan sprider den kontinuerligt. Stapeln för värdet $k$ motsvaras av ytan under kurvan från $k - 0{,}5$ till $k + 0{,}5$. Därför blir approximationen bättre om vi flyttar gränsen ett halvt steg:

$$
P(\xi\le k) \approx \Phi\!\left(\dfrac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)
$$

![[lek10-normalapproximation-halvkorrektion.png|560]]

> [!warning] Samma händelse, olika svar utan halvkorrektion
> För heltalsvärda $\xi$ är $P(\xi\ge 200)$ och $1 - P(\xi\le 199)$ samma sak. Utan halvkorrektion ger normalapproximationen ändå olika svar beroende på om gränsen sätts vid $200$ eller $199$. Halvkorrektionen lägger gränsen mitt emellan, vid $199{,}5$.
>
> I kursens facit används **inte** halvkorrektion, om inte annat anges.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 10, övning 7 (Vännman 6.37) — Instrument i en förpackning
> Ett instrument består av tre komponenter som var och en är defekt med sannolikheten $0{,}25$, oberoende av varandra. Instrumentet fungerar om högst en av komponenterna är defekt. En förpackning innehåller 240 instrument, oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att minst 200 av dem fungerar?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Ett instrument.** Låt $\xi_k$ = antal defekta komponenter i instrument $k$, $\xi_k\in\text{Bin}(3;\ 0{,}25)$.
> > $$
> > P(\text{instrument } k \text{ fungerar}) = P(\xi_k\le 1) = 0{,}75^3 + 3\cdot0{,}25\cdot0{,}75^2 = 0{,}84375
> > $$
> >
> > **Förpackningen.** Låt $\eta$ = antal fungerande instrument, $\eta\in\text{Bin}(240;\ 0{,}84375)$, med
> > $$
> > E(\eta) = 240\cdot0{,}84375 = 202{,}5, \qquad V(\eta) = 202{,}5\cdot0{,}15625 \approx 31{,}64, \qquad \sigma\approx 5{,}625
> > $$
> > Eftersom $np(1-p)\approx 31{,}6\ge 10$ är approximativt $\eta\approx N(202{,}5;\ 5{,}625)$.
> >
> > **Sannolikheten.**
> > $$
> > P(\eta\ge 200) \approx 1 - \Phi\!\left(\dfrac{200 - 202{,}5}{5{,}625}\right) = \Phi(0{,}444) \approx \boxed{0{,}67}
> > $$
> >
> > **Känsligheten för gränsen.** Skriver vi i stället $P(\eta\ge 200) = 1 - P(\eta\le 199)$ ger samma approximation $\Phi(0{,}622)\approx 0{,}73$. Med halvkorrektion, gränsen vid $199{,}5$, blir det $\Phi(0{,}533)\approx 0{,}703$. Den exakta binomialsannolikheten är $0{,}708$ — halvkorrektionen hamnar klart närmast.
> >
> > **På räknaren.** Det exakta värdet: `binomCdf(240,0.84375,200,240)`.
> >
> > *Uppgiften (Vännman 6.37, i 2:a uppl. 6.36) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och alla fyra värden stämmer med det.*

---

## Se även

- [[Centrala gränsvärdessatsen]]
- [[Binomialfördelning]]
- [[Poissonfördelning]]
- [[Normalfördelning]]
- [[Standardiserad normalfördelning]]

## Resurser

- [Khan Academy: Normal approximation to binomial](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library)
- [Wikipedia: Continuity correction](https://en.wikipedia.org/wiki/Continuity_correction)

---

← [[Centrala gränsvärdessatsen]] · [[S0008M]] · [[Statistisk inferens]] →