S0008M-2026-08-25

Kurs: S0008M — Sannolikhetslära och statistik Datum: 2026-08-25 Källa: originaltentamen · lärarens lösningar

Översikt

Del 1 (uppgift 1–12, 2–3 poäng var, bara svar):

• betingad sannolikhet (1) och ffg-fördelningen (2)
• rektangel-, Poisson- och normalfördelning (3–5)
• CGS för ett medelvärde (6) och en linjär funktion av en Poissonvariabel (7)
• $t$-test (8), konfidensintervall för stickprov i par (9) och teckenintervall (10)
• tvådimensionell normalfördelning (11) och summan av två rektangelfördelade väntetider (12)

Del 2 (uppgift 13–15, 10 poäng var, fullständiga lösningar):

• en Poissonsannolikhet (13)
• väntevärde med indikatorvariabler (14)
• korrelation kontra kausalitet (15)

Så använder du sidan

Försök själv först. Fastnar du öppnar du Ledtråd 1; den säger vilken sorts uppgift det är. Ledtråd 2 ligger inuti ledtråd 1 och ger modellen, ledtråd 3 ligger inuti ledtråd 2 och ger nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. Betingad sannolikhet: Netflix och villa

En invånare i en kommun väljs ut slumpmässigt. Sannolikheten att personen har Netflix är $0,36$, sannolikheten att personen bor i villa är $0,24$ och sannolikheten att personen både har Netflix och bor i villa är $0,11$.

Givet att en person bor i villa, vad är sannolikheten att personen inte har Netflix? Svara i procent med två decimaler.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

“Givet att” betyder betingad sannolikhet. Vilken händelse betingar vi på?

Ledtråd 2

Kalla händelserna $N$ (Netflix) och $V$ (villa). Du söker $P(N^c\mid V)$.

Ledtråd 3

Komplementregeln gäller också i den betingade världen: $P(N^c\mid V)=1-P(N\mid V)$.

Lösning

$$P(N\mid V)=\frac{P(N\cap V)}{P(V)}=\frac{0,11}{0,24}=0,4583$$

$$P(N^c\mid V)=1-0,4583=\boxed{54,17\%}$$

Uppgiftens $P(N)=0,36$ behövs inte.

Kontrollerat mot facit.

---

2. Tentaomskrivningar: ffg-fördelningen

Tuva har ingen brådska med att ta examen. Hon har en tenta kvar och tänker skriva den tills hon klarar den, utan att plugga mellan försöken. Eftersom hon inte pluggar mellan försöken är sannolikheten att hon klarar tentan varje gång lika med $0,4$ och försöken är oberoende.

Vad är sannolikheten att Tuva behöver skriva tentan minst 4 gånger? Svara i procent med en decimal.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Man upprepar ett försök tills det lyckas första gången: ffg-fördelning.

Ledtråd 2

$\xi$ = antal skrivningar, $\xi \in \text{ffg}(0,4)$. Vad måste hända för att det ska behövas minst fyra?

Ledtråd 3

“Minst 4” betyder att de tre första försöken misslyckas: $P(\xi \ge 4)=P(\xi >3)=(1-p{)}^3$.

Lösning

Försöken är oberoende, och varje försök misslyckas med sannolikheten $0,6$:

$$P(\xi \ge 4)=0,6^3=0,216=\boxed{21,6\%}$$

På räknaren. 1-geomCdf(0.4,1,3).

Kontrollerat mot facit.

---

3. Rektangelfördelning och en absolutbeloppshändelse

Slumpvariabeln $\xi$ har en rektangelfördelning på intervallet $[1,5;6]$. Skissa först frekvensfunktionen för $\xi$. Markera sedan sannolikheten $P(|\xi -2|\le 1)$ som en skuggad area i din figur. Beräkna till sist denna sannolikhet. Svara i procent med två decimaler.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Rektangelfördelning: sannolikheten för ett intervall är dess längd delad med hela intervallets längd.

Ledtråd 2

Skriv om absolutbeloppet: $|\xi -2|\le 1⟺1\le \xi \le 3$.

Ledtråd 3

Hela $[1,3]$ ligger inte inom $[1,5;6]$. Skär av den del där $f_{\xi }=0$.

Lösning

$f_{\xi }(x)=1/4,5$ på $[1,5;6]$ och $0$ annars. Eftersom $P(\xi <1,5)=0$ är

$$P(|\xi -2|\le 1)=P(1\le \xi \le 3)=P(1,5\le \xi \le 3)=\frac{3-1,5}{4,5}=\frac{1}{3}=\boxed{33,33\%}$$

Därför ber uppgiften om en skiss: utan den är det lätt att räkna med hela längden $2$ och få $2/4,5$.

Kontrollerat mot facit.

---

4. Poissonfördelning med given standardavvikelse

Antalet ytdefekter på en lackerad komponent antas vara Poissonfördelat med standardavvikelse $2,2$. Hur stor är sannolikheten att en komponent har minst två men högst fem defekter? Ange ditt svar i procent med en decimal.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Poissonfördelning: parametern $\lambda$ är både väntevärde och varians.

Ledtråd 2

$D(\xi )=\sqrt{\lambda }=2,2$, alltså $\lambda =4,84$. Det är inte $\lambda =2,2$.

Ledtråd 3

$P(2\le \xi \le 5)=P(\xi \le 5)-P(\xi \le 1)$ för en heltalsvariabel.

Lösning

$\xi \in \text{Po}(4,84)$ eftersom $\lambda =2,2^2$.

$$P(2\le \xi \le 5)=\sum _{k=2}^5{e}^{-4,84}\frac{4,84^k}{k!}=F(5)-F(1)\approx \boxed{59,8\%}$$

På räknaren. poissCdf(4.84,2,5).

Kontrollerat mot facit.

---

5. Normalfördelning bestämd ur två andelar

Diametern för axlar som tillverkas kan betraktas som en stokastisk variabel $\xi$. Vid kvalitetskontroll sorterar man bort de axlar som är tjockare än $1,05$ mm eller smalare än $0,94$ mm. Man har funnit att $P(\xi >1,05)=0,07$ och $P(\xi <0,94)=0,02$.

Antag att $\xi$ är $N(\mu ,\sigma )$-fördelad. Bestäm $\mu$ och $\sigma$ och ange värdet på standardavvikelsen $\sigma$. Svara med tre decimaler.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Två okända, två villkor: varje villkor blir en ekvation efter standardisering.

Ledtråd 2

$P(\xi >1,05)=0,07$ ger $\frac{1,05-\mu }{\sigma }={\lambda }_{0,07}$. Gör likadant med det andra villkoret, där gränsen ligger i vänstra svansen.

Ledtråd 3

Subtrahera ekvationerna så försvinner $\mu$: $1,05-0,94=({\lambda }_{0,07}+{\lambda }_{0,02})\sigma$.

Lösning

Standardisera båda villkoren:

$$\frac{1,05-\mu }{\sigma }={\lambda }_{0,07}\approx 1,4758,\frac{0,94-\mu }{\sigma }=-{\lambda }_{0,02}\approx -2,0537$$

Subtraktion ger

$$0,11=(1,4758+2,0537)\sigma \Rightarrow \sigma =\frac{0,11}{3,5295}\approx \boxed{0,031}$$

och insättning ger $\mu =0,94+2,0537\cdot 0,0312\approx 1,004$.

På räknaren. invNorm(0.93) och invNorm(0.98) ger kvantilerna.

Kontrollerat mot facit. Med tabellens avrundade kvantiler godtar läraren även $\sigma =0,032$.

---

6. Stickprovsmedelvärde med CGS

En fyllningsmaskin doserar i genomsnitt $50,0$ ml med standardavvikelse $3,2$ ml. Ett stickprov om $65$ förpackningar tas. Hur stor är sannolikheten att stickprovsmedelvärdet är större än $52$ ml? Svara i procent med en decimal.

Kommentar: Som vanligt får approximationer användas om sådana skulle kunna motiveras.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Fördelningen för doserna är inte given, men $n=65$ är stort: Centrala gränsvärdessatsen.

Ledtråd 2

Medelvärdet är approximativt $N(\mu ,\sigma /\sqrt{n})$.

Ledtråd 3

$\sigma /\sqrt{65}=0,397$. Hur många sådana medelfel ligger $52$ från $50$?

Lösning

$\bar{\xi }\approx N(50;3,2/\sqrt{65})=N(50;0,397)$, så

$$P(\bar{\xi }>52)\approx 1-\Phi \left(\frac{52-50}{0,397}\right)=1-\Phi (5,04)\approx \boxed{0,0\%}$$

Ett medelvärde fem medelfel från $\mu$ inträffar praktiskt taget aldrig.

Kontrollerat mot facit.

---

7. Nettovinst som linjär funktion av en Poissonvariabel

Thomas jobbar som inkastare på en bar på en grekisk ö, vilket innebär att han försöker få förbipasserade turister att besöka baren. För varje person han lyckas få att gå in i baren får han $30$ kr. Samtidigt har Thomas kostnader på $200$ kr per dag. Om han till exempel lockar $20$ kunder en dag blir hans nettovinst den dagen $400$ kr.

Antag att antalet kunder som Thomas lyckas locka till baren på en dag har en Poissonfördelning och att han i genomsnitt lockar $30$ kunder per dag. Vad är då standardavvikelsen för hans nettovinst på en dag? Svara med en decimal.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Skriv nettovinsten som en linjär funktion av antalet kunder.

Ledtråd 2

$\eta =30\xi -200$ med $\xi \in \text{Po}(30)$, så $V(\xi )=30$.

Ledtråd 3

Konstanten $-200$ påverkar inte spridningen, och $D(a\xi +b)=|a|D(\xi )$.

Lösning

$$D(\eta )=30D(\xi )=30\sqrt{30}\approx \boxed{164,3\text{ kr}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

8. Kapitalförvaltaren: $t$-test med flervalssvar

En viss kapitalförvaltare påstår sig generera en avkastning som är $9\%$ i snitt. I tabellen ges förvaltarens avkastning under de senaste 10 åren:

År	$-1$	$-2$	$-3$	$-4$	$-5$	$-6$	$-7$	$-8$	$-9$	$-10$
Avkastning (%)	$18$	$4$	$-11$	$8$	$7$	$6$	$22$	$7$	$8$	$3$

Man vill testa förvaltarens påstående om $9\%$ avkastning mot nollhypotesen $H_0$ att avkastningen i snitt är $7\%$, under antagandet att avkastningen är normalfördelad. Vilket av följande alternativ stämmer?

1. $H_0$ kan förkastas på $1\%$ signifikansnivå.
2. $H_0$ kan inte förkastas på $1\%$, men på $2\%$ signifikansnivå.
3. $H_0$ kan inte förkastas på $2\%$, men på $5\%$ signifikansnivå.
4. $H_0$ kan inte förkastas på $5\%$, men på $10\%$ signifikansnivå.
5. $H_0$ kan inte förkastas på $10\%$, men på $20\%$ signifikansnivå.
6. $H_0$ kan inte förkastas på $20\%$ signifikansnivå.
7. Det saknas information för att avgöra om påståendena i 1–6 stämmer.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Normalfördelning med okänd $\sigma$ och ensidig mothypotes: [[Sammansatta hypoteser|$t$-test]].

Ledtråd 2

$H_0:\mu =7$ mot $H_1:\mu >7$. Testvariabeln är $t=\frac{\bar{x}-7}{s/\sqrt{10}}$, som är $t(9)$-fördelad under $H_0$.

Ledtråd 3

Räkna ut $t$ och jämför med $t_{\alpha }(9)$ för $\alpha =0,20$, den största nivån i alternativen.

Lösning

Modell. ${\xi }_i$ = avkastningen år $i$, ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$ oberoende, $i=1,\dots ,10$, med $\sigma$ okänd.

Hypoteser. $H_0:\mu =7$ mot $H_1:\mu >7$ (förvaltaren påstår mer).

Räkning. $\bar{x}=7,2$ och $s=8,804$, så

$$t=\frac{7,2-7}{8,804/\sqrt{10}}\approx 0,072$$

Redan på $20\%$-nivån är den kritiska gränsen $t_{0,20}(9)=0,883$, och $0,072<0,883$.

Slutsats. $H_0$ kan inte förkastas ens på $20\%$: alternativ 6. Med direktmetoden blir ${\alpha }_0\approx 0,47$.

På räknaren. Stat Tests → t Test på listan med ${\mu }_0=7$ och Alternate Hyp $\mu >{\mu }_0$: t $\approx 0,072$, PVal $\approx 0,47$.

Kontrollerat mot facit.

---

9. Konfidensintervall för stickprov i par

Elsa och Araz har pluggat till en tenta tillsammans. Araz menar att han i genomsnitt löser uppgifter snabbare än Elsa. För att undersöka om så är fallet vill han beräkna ett konfidensintervall för hur mycket snabbare han i genomsnitt löser uppgifter. De observerar hur lång tid (i sekunder) de tar för att lösa 6 olika uppgifter.

Uppgift	1	2	3	4	5	6
Araz	$207,2$	$551,4$	$358,9$	$396,8$	$283,7$	$443,7$
Elsa	$198,3$	$527,3$	$353,8$	$424$	$313,3$	$424,7$

Beräkna ett $98\%$ konfidensintervall för den genomsnittliga skillnaden mellan den tid det tar för Elsa att lösa en uppgift och den tid det tar för Araz att lösa en uppgift (definierad som Araz genomsnitt − Elsas genomsnitt) under lämpliga normalfördelningsantaganden. Svara med den övre gränsen och använd två decimaler.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Båda löser samma sex uppgifter. Par eller två stickprov?

Ledtråd 2

Stickprov i par: bilda $z_i$ = Araz − Elsa per uppgift och behandla differenserna som ett stickprov ur $N(\Delta ,\sigma )$.

Ledtråd 3

$98\%$ tvåsidigt med $n=6$ ger kvantilen $t_{0,01}(5)=3,365$.

Lösning

Differenserna Araz − Elsa är

$$8,924,15,1-27,2-29,619,0$$

med $\bar{z}=0,05$ och $s_z=23,078$. Intervallet blir

$$\bar{z}\pm t_{0,01}(5)\frac{s_z}{\sqrt{6}}=0,05\pm 3,365\cdot \frac{23,078}{\sqrt{6}}=[-31,65;\boxed{31,75}]$$

Intervallet innehåller $0$, så datamaterialet visar ingen genomsnittlig skillnad.

På räknaren. Lägg differenserna i en lista och kör Confidence Intervals → t Interval med C Level $0,98$.

Kontrollerat mot facit.

---

10. Konfidensgrad för ett teckenintervall

Antag att du har ett stickprov ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{11}$ från en kontinuerlig fördelning som inte är en normalfördelning. Man vill skatta medianen i fördelningen med hjälp av metoden med teckenintervall. Beräkna konfidensgraden för intervallet $[{\xi }_{(2)},{\xi }_{(10)}]$. Svara i procent med två decimaler.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Teckenintervall: räkna antalet observationer under medianen.

Ledtråd 2

$\eta$ = antalet ${\xi }_i<m$ är $\text{Bin}(11;0,5)$. Intervallet $[{\xi }_{(k+1)},{\xi }_{(n-k)}]$ har här $k=1$.

Ledtråd 3

Konfidensgraden är $1-2P(\eta \le 1)$.

Lösning

$$1-2P(\eta \le 1)=1-2\cdot \frac{1+11}{2^{11}}=1-\frac{24}{2048}=0,98828=\boxed{98,83\%}$$

På räknaren. 1-2*binomCdf(11,0.5,1).

Kontrollerat mot facit. Lärarens facit anger $98,82\%$; det exakta värdet $98,828\%$ avrundas till $98,83\%$.

---

11. Summa i en tvådimensionell normalfördelning

Den tvådimensionella slumpvariabeln $({\xi }_1,{\xi }_2)$ har tvådimensionell normalfördelning med frekvensfunktionen

$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-(x_1^2+x_2^2)/2},-\infty <x_1,x_2<\infty$$

Beräkna sannolikheten $P({\xi }_1+{\xi }_2>1)$. Ange ditt svar i procent med två decimaler.

Totalpoäng: 2

Ledtråd 1

Känn igen frekvensfunktionen: vilka parametrar har den tvådimensionella normalfördelningen här?

Ledtråd 2

$f(x_1,x_2)=\phi (x_1)\phi (x_2)$, så ${\xi }_1$ och ${\xi }_2$ är oberoende och $N(0,1)$.

Ledtråd 3

Summan är $N(0,\sqrt{2})$.

Lösning

Frekvensfunktionen är en produkt av två $N(0,1)$-tätheter, så ${\xi }_1,{\xi }_2$ är oberoende $N(0,1)$ och ${\xi }_1+{\xi }_2\in N(0,\sqrt{2})$:

$$P({\xi }_1+{\xi }_2>1)=1-\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1-\Phi (0,7071)=0,23975\approx \boxed{23,98\%}$$

Kontrollerat mot facit. Lärarens facit anger $23,97\%$; det exakta värdet $0,239750$ ligger precis på avrundningsgränsen.

---

12. Två bussar: summan av två rektangelfördelade väntetider

Rolf tar två bussar till jobbet varje morgon. För den första bussen är väntetiden $R(0,10)$-fördelad. För den andra bussen är väntetiden $R(0,30)$-fördelad och oberoende av väntetiden för den första. Vad är sannolikheten att Rolfs sammanlagda väntetid en morgon blir högst 15 minuter? Svara i procent med en decimal.

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Två oberoende rektangelfördelningar ger en likformig fördelning på en rektangel i planet (Flerdimensionella fördelningar). Sannolikhet blir area.

Ledtråd 2

$(\xi ,\eta )$ är likformig på $[0,10]\times [0,30]$ med area $300$. Rita linjen $x+y=15$.

Ledtråd 3

Området under linjen inom rektangeln är en trapets: ${\int }_0^{10}(15-x)dx$.

Lösning

Området $x+y\le 15$ inom rektangeln har arean

$${\int }_0^{10}(15-x)dx=150-50=100$$

så

$$P(\xi +\eta \le 15)=\frac{100}{300}=\boxed{33,3\%}$$

Kontrollerat mot facit.

---

13. Del 2: nettovinsten överstiger 850 kr

Uppgift 13 fortsätter med situationen från uppgift 7. Vad är sannolikheten att Thomas nettovinst blir större än $850$ kr? Skriv en fullständig lösning.

Totalpoäng: 10

Ledtråd 1

Översätt händelsen om vinsten till en händelse om antalet kunder $\xi \in \text{Po}(30)$.

Ledtråd 2

$30\xi -200>850⟺\xi >35$. Eftersom $\xi$ är ett heltal är det $\xi \ge 36$.

Ledtråd 3

Räkna exakt med poissCdf, eller normalapproximera eftersom $\lambda =30>15$. Glöm inte halvkorrektionen.

Lösning

Modell. $\xi$ = antal kunder en dag, $\xi \in \text{Po}(30)$. Nettovinsten är $\eta =30\xi -200$.

Översätt händelsen.

$$\eta >850⟺30\xi >1050⟺\xi >35⟺\xi \ge 36$$

Exakt.

$$P(\xi \ge 36)=1-\sum _{k=0}^{35}{e}^{-30}\frac{30^k}{k!}\approx \boxed{0,157}$$

Normalapproximation. Eftersom $\lambda =30>15$ är $\xi \approx N(30,\sqrt{30})$. Med halvkorrektion:

$$P(\xi \ge 36)\approx 1-\Phi \left(\frac{35,5-30}{\sqrt{30}}\right)=1-\Phi (1,004)\approx 0,158$$

Utan halvkorrektion, med $(35-30)/\sqrt{30}$, blir det $0,181$, klart sämre.

Svar. Sannolikheten är ungefär $0,157$, alltså knappt $16\%$.

På räknaren. 1-poissCdf(30,0,35).

Kontrollerat mot facit.

---

14. Del 2: väntevärde med indikatorvariabler

På ena sidan av ett tiokronorsmynt visas “10” och på den andra kung Carl XVI Gustaf. Tänk dig att du kastar två tiokronorsmynt. Låt $A_1$ vara händelsen att det första visar kungen, $A_2$ händelsen att det andra visar kungen, och $A_3$ händelsen att exakt ett av de två mynten visar kungen. Då gäller att $A_1$ och $A_2$ är oberoende och $P(A_i)=0,5$, $i=1,2,3$.

Låt $\xi$ stå för antalet händelser som inträffar av de tre händelserna $A_1,A_2,A_3$. Beräkna väntevärdet av $\xi$.

Totalpoäng: 10

Ledtråd 1

Ett antal händelser som inträffar kan skrivas som en summa av indikatorvariabler.

Ledtråd 2

$I_j=1$ om $A_j$ inträffar, annars $0$. Då är $\xi =I_1+I_2+I_3$ och $E(I_j)=P(A_j)$.

Ledtråd 3

Väntevärdet av en summa är summan av väntevärdena, även om händelserna är beroende.

Lösning

Inför indikatorvariablerna $I_j$, $j=1,2,3$. Då är $\xi =I_1+I_2+I_3$ och

$$E(I_j)=0\cdot P(A_j^c)+1\cdot P(A_j)=P(A_j)=0,5$$

Väntevärdet är linjärt utan krav på oberoende, så

$$E(\xi )=0,5+0,5+0,5=\boxed{1,5}$$

Kontroll med utfallen. De fyra lika sannolika utfallen ger

Utfall	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$\xi$
kung–kung	ja	ja	nej	$2$
kung–10	ja	nej	ja	$2$
10–kung	nej	ja	ja	$2$
10–10	nej	nej	nej	$0$

så $E(\xi )=2\cdot 0,75+0\cdot 0,25=1,5$.

Kontrollerat mot facit.

---

15. Del 2: korrelation och kausalitet

Om vi tittar på svenska företag och betraktar variablerna $x$ = andel utlandsfödda anställda och $y$ = vinst per anställd, så kan man finna en tydlig positiv korrelation.

Betyder detta att företag bör anställa utlandsfödda för att bli mer framgångsrika? Förklara. (Endast svar i form av ja/nej ger 0 poäng.)

Totalpoäng: 10

Ledtråd 1

Korrelation mäter samvariation, inte orsak.

Ledtråd 2

Finns det en tredje variabel som kan påverka både $x$ och $y$?

Ledtråd 3

Tänk på företagets storlek, bransch och ort, och på om sambandet kan gå åt andra hållet.

Lösning

Nej, korrelationen visar inte att det lönar sig att anställa utlandsfödda. En korrelation säger bara att variablerna samvarierar, inte att den ena orsakar den andra.

• Bakomliggande variabler. Stora, internationella företag i storstäder kan både ha högre vinst per anställd och rekrytera fler utlandsfödda. Bransch, storlek och exportverksamhet kan förklara båda variablerna.
• Omvänd riktning. Framgångsrika företag kan ha större möjlighet att rekrytera internationellt.

För att visa ett orsakssamband behövs en undersökning som utesluter sådana förklaringar, till exempel ett experiment eller en analys som kontrollerar för de bakomliggande variablerna.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• S0008M
• Betingad sannolikhet
• ffg-fördelning
• Likformig fördelning
• Poissonfördelning
• Standardiserad normalfördelning
• Centrala gränsvärdessatsen
• Sammansatta hypoteser
• Stickprov i par
• Teckenintervall
• Tvådimensionell normalfördelning
• Korrelation