Likformig fördelning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Sannolikhetsfunktion

---

En stokastisk variabel är likformigt fördelad när inget värde är mer troligt än något annat. I det diskreta fallet är det den klassiska sannolikhetsdefinitionen översatt till stokastiska variabler. I det kontinuerliga fallet, rektangelfördelningen $R(a,b)$, är det modellen för “någon gång i intervallet, helt slumpmässigt”: en ankomsttid, ett avrundningsfel, en brottpunkt.

---

1. Sannolikhetsfunktionen

Om $\xi$ kan anta de $m$ värdena $x_1,\dots ,x_m$ och alla är lika sannolika är

$$\boxed{P(\xi =x_i)=\frac{1}{m},i=1,\dots ,m}$$

Standardexemplet är antalet prickar vid kast med en symmetrisk tärning: $m=6$ och $P(\xi =x)=1/6$ för $x=1,\dots ,6$.

Fördelningen är samma sak som den klassiska sannolikhetsdefinitionen: $m$ lika sannolika utfall, där varje värde är ett gynnsamt utfall.

---

2. Väntevärde och varians för $1,2,\dots ,m$

När värdena är heltalen $1,2,\dots ,m$ ligger masscentrum mitt i:

$$E(\xi )=\frac{m+1}{2},V(\xi )=\frac{m^2-1}{12}$$

För tärningen blir $E(\xi )=3,5$ och $V(\xi )=35/12\approx 2,92$.

---

3. Kontinuerlig likformig fördelning: $R(a,b)$

En kontinuerlig variabel som är lika sannolik överallt i intervallet $[a,b]$ är rektangelfördelad, $\xi \in R(a,b)$. Frekvensfunktionen är konstant, och konstanten måste vara $1/(b-a)$ för att arean ska bli $1$:

$$\boxed{f_{\xi }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& \text{annars}\end{array}{F}_{\xi }(x)=\frac{x-a}{b-a},a\le x\le b}$$

Sannolikheten för ett delintervall är alltså dess längd delad med hela intervallets längd, samma idé som den klassiska definitionen men med längder i stället för antal.

$$\boxed{E(\xi )=\frac{a+b}{2},V(\xi )=\frac{(b-a{)}^2}{12}}$$

Härledning av $E(\xi )$ och $V(\xi )$

$$E(\xi )={\int }_a^b\frac{x}{b-a}dx=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2},E({\xi }^2)={\int }_a^b\frac{x^2}{b-a}dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$$

$$V(\xi )=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{(a+b{)}^2}{4}=\frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

Väntevärdet är mittpunkten, vilket symmetrin kräver. Standardavvikelsen $(b-a)/\sqrt{12}\approx 0,29(b-a)$ beror bara på intervallets längd.

Exempel — Väntan på bussen

En buss går var tionde minut, och vi kommer till hållplatsen utan att titta på tidtabellen. Väntetiden är då $\xi \in R(0,10)$ minuter.

a) Vad är sannolikheten att vi får vänta mer än 7 minuter?

b) Bestäm väntevärde och standardavvikelse för väntetiden.

Lösning

a) Intervallet $(7,10]$ har längden $3$ av totalt $10$:

$$P(\xi >7)=1-F_{\xi }(7)=1-\frac{7}{10}=\boxed{0,3}$$

b)

$$E(\xi )=\frac{0+10}{2}=\boxed{5\text{ min}},D(\xi )=\frac{10-0}{\sqrt{12}}\approx \boxed{2,89\text{ min}}$$

Samma väntetid återkommer i lektion 19, där två sådana väntetider adderas och summan inte blir likformig.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• Glömma nämnaren. $f_{\xi }(x)=1/(b-a)$, inte $1$. Bara på intervall med längden $1$, som $R(0,1)$, är höjden $1$.
• Tolv, inte två. Variansen är $(b-a{)}^2/12$. Standardavvikelsen är $(b-a)/\sqrt{12}$, inte $(b-a)/2$.
• Diskret eller kontinuerlig. En tärning har $V=(m^2-1)/12=35/12$, rektangelfördelningen på $[1,6]$ har $25/12$. Formlerna är inte utbytbara.

---

Se även

• Klassiska sannolikhetsdefinitionen
• Icke-linjära funktioner av stokastiska variabler
• Sannolikhetsfunktion
• Väntevärde
• Kontinuerliga stokastiska variabler

Resurser

• Wikipedia: Discrete uniform distribution

---

← Poissonfördelning · S0008M · ffg-fördelning →