---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - fördelning
förkunskaper:
  - "[[Sannolikhetsfunktion]]"
status: utkast
aliases:
  - Diskret likformig fördelning
  - Likformig fördelning (diskret)
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Sannolikhetsfunktion]]

---

En stokastisk variabel är likformigt fördelad när inget värde är mer troligt än något annat. I det diskreta fallet är det den klassiska sannolikhetsdefinitionen översatt till stokastiska variabler. I det kontinuerliga fallet, rektangelfördelningen $R(a,b)$, är det modellen för "någon gång i intervallet, helt slumpmässigt": en ankomsttid, ett avrundningsfel, en brottpunkt.

---

## 1. Sannolikhetsfunktionen

Om $\xi$ kan anta de $m$ värdena $x_1,\dots,x_m$ och alla är lika sannolika är

$$
\boxed{P(\xi = x_i) = \dfrac{1}{m}, \qquad i = 1,\dots,m}
$$

Standardexemplet är antalet prickar vid kast med en symmetrisk tärning: $m = 6$ och $P(\xi = x) = 1/6$ för $x = 1,\dots,6$.

![[likformig-fordelning-tarning.png|460]]

Fördelningen är samma sak som den [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen|klassiska sannolikhetsdefinitionen]]: $m$ lika sannolika utfall, där varje värde är ett gynnsamt utfall.

---

## 2. Väntevärde och varians för $1, 2, \dots, m$

När värdena är heltalen $1, 2, \dots, m$ ligger masscentrum mitt i:

$$
E(\xi) = \dfrac{m+1}{2}, \qquad V(\xi) = \dfrac{m^2 - 1}{12}
$$

För tärningen blir $E(\xi) = 3{,}5$ och $V(\xi) = 35/12 \approx 2{,}92$.

---

## 3. Kontinuerlig likformig fördelning: $R(a,b)$

En [[Kontinuerliga stokastiska variabler|kontinuerlig]] variabel som är lika sannolik överallt i intervallet $[a,b]$ är **rektangelfördelad**, $\xi\in R(a,b)$. Frekvensfunktionen är konstant, och konstanten måste vara $1/(b-a)$ för att arean ska bli $1$:

$$
\boxed{f_\xi(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b \\[4pt] 0, & \text{annars} \end{cases}
\qquad
F_\xi(x) = \dfrac{x-a}{b-a}, \quad a\le x\le b}
$$

Sannolikheten för ett delintervall är alltså dess längd delad med hela intervallets längd, samma idé som den klassiska definitionen men med längder i stället för antal.

$$
\boxed{E(\xi) = \dfrac{a+b}{2}, \qquad V(\xi) = \dfrac{(b-a)^2}{12}}
$$

![[rektangelfordelning.png|520]]

> [!note]- Härledning av $E(\xi)$ och $V(\xi)$
> $$
> E(\xi) = \int_a^b \dfrac{x}{b-a}\,dx = \dfrac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \dfrac{a+b}{2}, \qquad
> E(\xi^2) = \int_a^b \dfrac{x^2}{b-a}\,dx = \dfrac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \dfrac{a^2 + ab + b^2}{3}
> $$
> $$
> V(\xi) = \dfrac{a^2 + ab + b^2}{3} - \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \dfrac{(b-a)^2}{12}
> $$
> Väntevärdet är mittpunkten, vilket symmetrin kräver. Standardavvikelsen $(b-a)/\sqrt{12}\approx 0{,}29\,(b-a)$ beror bara på intervallets längd.

> [!example]- Exempel — Väntan på bussen
> En buss går var tionde minut, och vi kommer till hållplatsen utan att titta på tidtabellen. Väntetiden är då $\xi\in R(0,10)$ minuter.
>
> a) Vad är sannolikheten att vi får vänta mer än 7 minuter?
>
> b) Bestäm väntevärde och standardavvikelse för väntetiden.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Intervallet $(7, 10]$ har längden $3$ av totalt $10$:
> > $$
> > P(\xi > 7) = 1 - F_\xi(7) = 1 - \dfrac{7}{10} = \boxed{0{,}3}
> > $$
> >
> > **b)**
> > $$
> > E(\xi) = \dfrac{0 + 10}{2} = \boxed{5 \text{ min}}, \qquad D(\xi) = \dfrac{10 - 0}{\sqrt{12}} \approx \boxed{2{,}89 \text{ min}}
> > $$
> >
> > Samma väntetid återkommer i [[Icke-linjära funktioner av stokastiska variabler|lektion 19]], där två sådana väntetider adderas och summan *inte* blir likformig.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **Glömma nämnaren.** $f_\xi(x) = 1/(b-a)$, inte $1$. Bara på intervall med längden $1$, som $R(0,1)$, är höjden $1$.
> - **Tolv, inte två.** Variansen är $(b-a)^2/12$. Standardavvikelsen är $(b-a)/\sqrt{12}$, inte $(b-a)/2$.
> - **Diskret eller kontinuerlig.** En tärning har $V = (m^2 - 1)/12 = 35/12$, rektangelfördelningen på $[1,6]$ har $25/12$. Formlerna är inte utbytbara.

---

## Se även

- [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]]
- [[Icke-linjära funktioner av stokastiska variabler]]
- [[Sannolikhetsfunktion]]
- [[Väntevärde]]
- [[Kontinuerliga stokastiska variabler]]

## Resurser

- [Wikipedia: Discrete uniform distribution](https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_uniform_distribution)

---

← [[Poissonfördelning]] · [[S0008M]] · [[ffg-fördelning]] →