Stokastisk variabel

Kurs: S0008M Förkunskaper: Mängdlära

---

En stokastisk variabel är ingen variabel i vanlig mening — det är en funktion som översätter varje slumpmässigt utfall till ett tal. Genom den kan vi räkna med sannolikheter för tal i stället för för händelser.

---

1. Definitionen

Ett slumpförsök har ett utfallsrum $\Omega$: mängden av allt som kan hända. En stokastisk variabel $\xi$ är en avbildning

$$\boxed{\xi :\Omega \to \mathbb{R}}$$

som ger varje utfall $\omega \in \Omega$ ett reellt tal $\xi (\omega )$. Vid ett tärningskast är $\Omega$ de sex sidorna, och $\xi$ kan vara antalet prickar.

Figuren visar idén för två myntkast: fyra utfall i $\Omega$, men bara tre värden på $\xi$. Sannolikheten för ett värde är summan av sannolikheterna för de utfall som avbildas dit.

Vi skriver själva variabeln med grekiska bokstäver — $\xi ,\eta ,\zeta$ — och de värden den antar med latinska småbokstäver. Skrivsättet $P(\xi =x)$ läses alltså “sannolikheten att den stokastiska variabeln $\xi$ råkar landa på talet $x$”.

Variabeln är inte sitt värde

$\xi$ är funktionen, $x$ är utfallet av ett enskilt försök. Skillnaden känns pedantisk tills man skriver $P(\xi \le x)$ — där är $\xi$ det slumpmässiga och $x$ en fix gräns vi jämför mot.

---

2. Diskret eller kontinuerlig

Uppdelningen styr vilken maskin vi räknar med, och allt annat följer av den.

	Antar	Beskrivs av	Räknas med
Diskret	ändligt eller uppräkneligt många värden	sannolikhetsfunktion $p_{\xi }(x)=P(\xi =x)$	summa
Kontinuerlig	alla värden i ett intervall	frekvensfunktion $f_{\xi }(x)$	integral

Gemensamt för båda är fördelningsfunktionen $F_{\xi }(x)=P(\xi \le x)$, som är definierad för alla reella $x$ oavsett typ.

Stokastisk modell

Att välja en stokastisk variabel och en fördelning för den kallas att ställa upp en stokastisk modell för försöket. De vanligaste modellerna har egna namn: binomial-, hypergeometrisk-, Poisson-, likformig och ffg-fördelning. Att känna igen vilken situation som hör till vilken modell är en stor del av kursen.

Exempel — Två myntkast

Två symmetriska mynt kastas. Låt $\xi$ vara antalet krona. Bestäm fördelningen för $\xi$ och $P(\xi \ge 1)$.

Lösning

Utfallsrummet är $\Omega =\{KK,KL,LK,LL\}$ med fyra lika sannolika utfall (K = krona, L = klave). $\xi$ avbildar dem på

$$\xi (KK)=2,\xi (KL)=\xi (LK)=1,\xi (LL)=0$$

Varje värde får summan av sina utfalls sannolikheter:

$x$	$0$	$1$	$2$
$P(\xi =x)$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

$$P(\xi \ge 1)=1-P(\xi =0)=\boxed{\frac{3}{4}}$$

Detta är $\text{Bin}(2,0,5)$; binomialfördelningen är just den här konstruktionen för $n$ försök.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• Blanda ihop $\xi$ och $x$. $P(\xi =x)$ är en funktion av $x$; $P(x)$ betyder ingenting.
• Tro att värdena är lika sannolika för att utfallen är det. Utfallen i $\Omega$ är lika sannolika, men värdet $1$ nås av två utfall och får dubbelt så stor sannolikhet.

---

Se även

• Sannolikhetsfunktion
• Fördelningsfunktion
• Kontinuerliga stokastiska variabler
• Väntevärde
• Varians och standardavvikelse
• Binomialfördelning
• Utfallsrum och händelser

Resurser

• Khan Academy: Random variables
• Wikipedia: Stokastisk variabel

---

← Oberoende upprepningar · S0008M · Sannolikhetsfunktion →