---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - grundbegrepp
förkunskaper:
  - "[[Mängdlära]]"
status: utkast
aliases:
  - Slumpvariabel
  - Random variable
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Mängdlära]]

---

En stokastisk variabel är ingen variabel i vanlig mening — det är en **funktion** som översätter varje slumpmässigt utfall till ett tal. Genom den kan vi räkna med sannolikheter för tal i stället för för händelser.

---

## 1. Definitionen

Ett slumpförsök har ett utfallsrum $\Omega$: mängden av allt som kan hända. En stokastisk variabel $\xi$ är en avbildning

$$
\boxed{\;\xi:\Omega\to\mathbb{R}\;}
$$

som ger varje utfall $\omega\in\Omega$ ett reellt tal $\xi(\omega)$. Vid ett tärningskast är $\Omega$ de sex sidorna, och $\xi$ kan vara antalet prickar.

![[stokastisk-variabel-avbildning.png|520]]

Figuren visar idén för två myntkast: fyra utfall i $\Omega$, men bara tre värden på $\xi$. Sannolikheten för ett värde är summan av sannolikheterna för de utfall som avbildas dit.

Vi skriver själva variabeln med grekiska bokstäver — $\xi,\eta,\zeta$ — och de värden den antar med latinska småbokstäver. Skrivsättet $P(\xi = x)$ läses alltså "sannolikheten att den stokastiska variabeln $\xi$ råkar landa på talet $x$".

> [!note] Variabeln är inte sitt värde
> $\xi$ är funktionen, $x$ är utfallet av ett enskilt försök. Skillnaden känns pedantisk tills man skriver $P(\xi \le x)$ — där är $\xi$ det slumpmässiga och $x$ en fix gräns vi jämför mot.

---

## 2. Diskret eller kontinuerlig

Uppdelningen styr vilken maskin vi räknar med, och allt annat följer av den.

| | Antar | Beskrivs av | Räknas med |
|---|---|---|---|
| **Diskret** | ändligt eller uppräkneligt många värden | [[Sannolikhetsfunktion\|sannolikhetsfunktion]] $p_\xi(x)=P(\xi=x)$ | summa |
| **Kontinuerlig** | alla värden i ett intervall | [[Frekvensfunktion\|frekvensfunktion]] $f_\xi(x)$ | integral |

Gemensamt för båda är [[Fördelningsfunktion|fördelningsfunktionen]] $F_\xi(x) = P(\xi \le x)$, som är definierad för alla reella $x$ oavsett typ.

> [!note] Stokastisk modell
> Att välja en stokastisk variabel och en fördelning för den kallas att ställa upp en **stokastisk modell** för försöket. De vanligaste modellerna har egna namn: [[Binomialfördelning|binomial]]-, [[Hypergeometrisk fördelning|hypergeometrisk]]-, [[Poissonfördelning|Poisson]]-, [[Likformig fördelning|likformig]] och [[ffg-fördelning]]. Att känna igen vilken situation som hör till vilken modell är en stor del av kursen.

> [!example]- Exempel — Två myntkast
> Två symmetriska mynt kastas. Låt $\xi$ vara antalet krona. Bestäm fördelningen för $\xi$ och $P(\xi\ge 1)$.
>
> > [!note]- Lösning
> > Utfallsrummet är $\Omega = \{KK, KL, LK, LL\}$ med fyra lika sannolika utfall (K = krona, L = klave). $\xi$ avbildar dem på
> > $$
> > \xi(KK) = 2, \quad \xi(KL) = \xi(LK) = 1, \quad \xi(LL) = 0
> > $$
> > Varje värde får summan av sina utfalls sannolikheter:
> >
> > | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ |
> > |---|---|---|---|
> > | $P(\xi = x)$ | $1/4$ | $1/2$ | $1/4$ |
> >
> > $$
> > P(\xi\ge 1) = 1 - P(\xi = 0) = \boxed{\dfrac34}
> > $$
> > Detta är $\text{Bin}(2,\ 0{,}5)$; [[Binomialfördelning|binomialfördelningen]] är just den här konstruktionen för $n$ försök.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **Blanda ihop $\xi$ och $x$.** $P(\xi = x)$ är en funktion av $x$; $P(x)$ betyder ingenting.
> - **Tro att värdena är lika sannolika för att utfallen är det.** Utfallen i $\Omega$ är lika sannolika, men värdet $1$ nås av två utfall och får dubbelt så stor sannolikhet.

---

## Se även

- [[Sannolikhetsfunktion]]
- [[Fördelningsfunktion]]
- [[Kontinuerliga stokastiska variabler]]
- [[Väntevärde]]
- [[Varians och standardavvikelse]]
- [[Binomialfördelning]]
- [[Utfallsrum och händelser]]

## Resurser

- [Khan Academy: Random variables](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library)
- [Wikipedia: Stokastisk variabel](https://sv.wikipedia.org/wiki/Stokastisk_variabel)

---

← [[Oberoende upprepningar]] · [[S0008M]] · [[Sannolikhetsfunktion]] →