Frekvensfunktion

Kurs: S0008M Förkunskaper: Kontinuerliga stokastiska variabler, Fördelningsfunktion

---

Frekvensfunktionen $f_{\xi }(x)$ beskriver fördelningen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Sannolikheten att variabeln hamnar i ett intervall är arean under frekvensfunktionen över intervallet.

---

1. Definitionen

En kontinuerlig stokastisk variabel $\xi$ har frekvensfunktionen $f_{\xi }$ om

$$\boxed{P(a\le \xi \le b)={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx}$$

för alla $a\le b$. I annan litteratur kallas samma funktion täthetsfunktion; kursen säger frekvensfunktion.

---

2. Egenskaper

En funktion $f$ är en frekvensfunktion om och endast om

$$f(x)\ge 0\text{fo¨r alla }x,{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$$

Det räcker alltså att kontrollera de två villkoren för att visa att en given funktion är frekvensfunktion för någon stokastisk variabel. De motsvarar exakt villkoren på en sannolikhetsfunktion, med summan utbytt mot en integral.

$f(x)$ är ingen sannolikhet

$f(x)$ får vara större än $1$ — en rektangelfördelning på $[0,0,5]$ har $f(x)=2$. Det är arean som är en sannolikhet, inte höjden. Däremot är $f(x)dx\approx P(x<\xi \le x+dx)$ för en liten intervallängd $dx$.

---

3. Samband med fördelningsfunktionen

Fördelningsfunktionen är arean till vänster om $x$, och frekvensfunktionen är dess derivata:

$$\boxed{F_{\xi }(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_{\xi }(t)dt,f_{\xi }(x)=F_{\xi }^{\prime }(x)}$$

(derivatan gäller i alla punkter där $F_{\xi }$ är deriverbar). Ur det följer

$$P(a<\xi \le b)=F_{\xi }(b)-F_{\xi }(a)$$

och att $P(\xi =x)=0$ för varje enskilt $x$: ett intervall med längd noll har area noll.

Summor blir integraler

Diskret	Kontinuerlig
$p_{\xi }(x)=P(\xi =x)$	$f_{\xi }(x)$
${\sum }_x{p}_{\xi }(x)=1$	$\int f_{\xi }(x)dx=1$
$P(\xi \in A)={\sum }_{x\in A}{p}_{\xi }(x)$	$P(\xi \in A)={\int }_A{f}_{\xi }(x)dx$
$E(\xi )={\sum }_{x}x{p}_{\xi }(x)$	$E(\xi )=\int x{f}_{\xi }(x)dx$

Exempel — Kontrollera och använd en frekvensfunktion

En stokastisk variabel $\xi$ har frekvensfunktionen $f_{\xi }(x)=\frac{3}{8}{x}^2$ för $0\le x\le 2$ och $0$ annars.

a) Visa att $f_{\xi }$ är en frekvensfunktion.

b) Beräkna $P(\xi >1)$.

c) Bestäm medianen och väntevärdet.

Lösning

a) $f_{\xi }(x)\ge 0$ överallt, och

$${\int }_0^2\frac{3}{8}{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{8}\right]}_0^2=1$$

b) Fördelningsfunktionen är $F_{\xi }(x)=x^3/8$ på $[0,2]$, så

$$P(\xi >1)=1-F_{\xi }(1)=1-\frac{1}{8}=\boxed{\frac{7}{8}}$$

Intervallet $(1,2]$ är halva definitionsmängden men bär $7/8$ av sannolikheten, eftersom $f_{\xi }$ är störst där (figuren ovan).

c) Medianen löser $F_{\xi }(m)=0,5$:

$$\frac{m^3}{8}=\frac{1}{2}⟺m=\sqrt[3]{4}\approx \boxed{1,587}$$

Väntevärdet är

$$E(\xi )={\int }_0^{2}x\cdot \frac{3}{8}{x}^{2}dx=\frac{3}{8}\cdot \frac{2^4}{4}=\boxed{1,5}$$

Väntevärdet ligger till vänster om medianen: svansen åt vänster drar det nedåt.

På räknaren. Integralmallen i menu → Calculus → Integral, t.ex. ${\int }_1^2\frac{3}{8}{x}^{2}dx$ för b). Medianen med solve(x^3/8=0.5,x).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• Läsa av höjden som en sannolikhet. $f_{\xi }(1,5)\approx 0,84$ är ingen sannolikhet; bara arean är det.
• Glömma kontrollen av arean. Står det “bestäm $c$ så att $f$ blir en frekvensfunktion” är det villkoret $\int f=1$ som ger $c$.
• Integrera över fel område. Utanför $[0,2]$ är $f_{\xi }=0$; gränserna ska klippas till där $f_{\xi }$ är positiv.

---

Se även

• Kontinuerliga stokastiska variabler
• Fördelningsfunktion
• Sannolikhetsfunktion
• Väntevärde
• Median och kvantiler

Resurser

• Khan Academy: Probability density functions
• Wikipedia: Probability density function

---

← Kontinuerliga stokastiska variabler · S0008M · Mest sannolika värde →