---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - definition
förkunskaper:
  - "[[Kontinuerliga stokastiska variabler]]"
  - "[[Fördelningsfunktion]]"
status: utkast
aliases:
  - Frekvensfunktionen
  - Täthetsfunktion
  - Täthet
  - Probability density function
  - f_ξ(x)
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Kontinuerliga stokastiska variabler]], [[Fördelningsfunktion]]

---

Frekvensfunktionen $f_\xi(x)$ beskriver fördelningen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Sannolikheten att variabeln hamnar i ett intervall är arean under frekvensfunktionen över intervallet.

---

## 1. Definitionen

En [[Kontinuerliga stokastiska variabler|kontinuerlig stokastisk variabel]] $\xi$ har **frekvensfunktionen** $f_\xi$ om

$$
\boxed{P(a\le\xi\le b) = \int_a^b f_\xi(x)\,dx}
$$

för alla $a\le b$. I annan litteratur kallas samma funktion **täthetsfunktion**; kursen säger frekvensfunktion.

![[frekvensfunktion-area.png|520]]

---

## 2. Egenskaper

En funktion $f$ är en frekvensfunktion om och endast om

$$
f(x)\ge 0 \quad\text{för alla } x, \qquad\qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
$$

Det räcker alltså att kontrollera de två villkoren för att visa att en given funktion är frekvensfunktion för någon stokastisk variabel. De motsvarar exakt villkoren på en [[Sannolikhetsfunktion|sannolikhetsfunktion]], med summan utbytt mot en integral.

> [!warning] $f(x)$ är ingen sannolikhet
> $f(x)$ får vara större än $1$ — en rektangelfördelning på $[0,\ 0{,}5]$ har $f(x) = 2$. Det är arean som är en sannolikhet, inte höjden. Däremot är $f(x)\,dx \approx P(x < \xi\le x + dx)$ för en liten intervallängd $dx$.

---

## 3. Samband med fördelningsfunktionen

[[Fördelningsfunktion|Fördelningsfunktionen]] är arean till vänster om $x$, och frekvensfunktionen är dess derivata:

$$
\boxed{F_\xi(x) = \int_{-\infty}^{x} f_\xi(t)\,dt, \qquad f_\xi(x) = F_\xi'(x)}
$$

(derivatan gäller i alla punkter där $F_\xi$ är deriverbar). Ur det följer

$$
P(a < \xi\le b) = F_\xi(b) - F_\xi(a)
$$

och att $P(\xi = x) = 0$ för varje enskilt $x$: ett intervall med längd noll har area noll.

> [!tip] Summor blir integraler
> | Diskret | Kontinuerlig |
> |---|---|
> | $p_\xi(x) = P(\xi = x)$ | $f_\xi(x)$ |
> | $\sum_x p_\xi(x) = 1$ | $\int f_\xi(x)\,dx = 1$ |
> | $P(\xi\in A) = \sum_{x\in A} p_\xi(x)$ | $P(\xi\in A) = \int_A f_\xi(x)\,dx$ |
> | $E(\xi) = \sum_x x\,p_\xi(x)$ | $E(\xi) = \int x\,f_\xi(x)\,dx$ |

> [!example]- Exempel — Kontrollera och använd en frekvensfunktion
> En stokastisk variabel $\xi$ har frekvensfunktionen $f_\xi(x) = \tfrac38 x^2$ för $0\le x\le 2$ och $0$ annars.
>
> a) Visa att $f_\xi$ är en frekvensfunktion.
>
> b) Beräkna $P(\xi > 1)$.
>
> c) Bestäm medianen och väntevärdet.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** $f_\xi(x)\ge 0$ överallt, och
> > $$
> > \int_0^2 \dfrac38 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{8}\right]_0^2 = 1
> > $$
> >
> > **b)** Fördelningsfunktionen är $F_\xi(x) = x^3/8$ på $[0,2]$, så
> > $$
> > P(\xi > 1) = 1 - F_\xi(1) = 1 - \dfrac18 = \boxed{\dfrac78}
> > $$
> > Intervallet $(1,2]$ är halva definitionsmängden men bär $7/8$ av sannolikheten, eftersom $f_\xi$ är störst där (figuren ovan).
> >
> > **c)** [[Median och kvantiler|Medianen]] löser $F_\xi(m) = 0{,}5$:
> > $$
> > \dfrac{m^3}{8} = \dfrac12 \iff m = \sqrt[3]{4} \approx \boxed{1{,}587}
> > $$
> > [[Väntevärde|Väntevärdet]] är
> > $$
> > E(\xi) = \int_0^2 x\cdot\dfrac38 x^2\,dx = \dfrac38\cdot\dfrac{2^4}{4} = \boxed{1{,}5}
> > $$
> > Väntevärdet ligger till vänster om medianen: svansen åt vänster drar det nedåt.
> >
> > **På räknaren.** Integralmallen i `menu` → Calculus → Integral, t.ex. $\int_1^2 \tfrac38 x^2\,dx$ för b). Medianen med `solve(x^3/8=0.5,x)`.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **Läsa av höjden som en sannolikhet.** $f_\xi(1{,}5)\approx 0{,}84$ är ingen sannolikhet; bara arean är det.
> - **Glömma kontrollen av arean.** Står det "bestäm $c$ så att $f$ blir en frekvensfunktion" är det villkoret $\int f = 1$ som ger $c$.
> - **Integrera över fel område.** Utanför $[0,2]$ är $f_\xi = 0$; gränserna ska klippas till där $f_\xi$ är positiv.

---

## Se även

- [[Kontinuerliga stokastiska variabler]]
- [[Fördelningsfunktion]]
- [[Sannolikhetsfunktion]]
- [[Väntevärde]]
- [[Median och kvantiler]]

## Resurser

- [Khan Academy: Probability density functions](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library/random-variables-continuous/v/probability-density-functions)
- [Wikipedia: Probability density function](https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function)

---

← [[Kontinuerliga stokastiska variabler]] · [[S0008M]] · [[Mest sannolika värde]] →