Marginalfördelning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Flerdimensionella fördelningar

---

Marginalfördelningen är fördelningen för en av variablerna i en flerdimensionell fördelning, betraktad för sig. Den fås genom att summera eller integrera bort den andra variabeln.

---

1. Diskret fall

Om $p(x,y)$ är den simultana sannolikhetsfunktionen för $(\xi ,\eta )$ ges marginalfördelningarna av

$$\boxed{p_{\xi }(x)=\sum _{y}p(x,y),p_{\eta }(y)=\sum _{x}p(x,y)}$$

där summorna tas över alla värden som $\eta$ respektive $\xi$ kan anta.

Att $\xi =x$ inträffar är detsamma som att $(\xi ,\eta )$ hamnar på raden $x$ i tabellen, oavsett vilket $y$. Raderna är disjunkta händelser, så sannolikheterna adderas — det är lagen om total sannolikhet i tabellform.

Summera raderna och kolumnerna

Skriv den simultana tabellen och lägg till en summakolumn och en summarad. Radsummorna är $p_{\xi }(x)$, kolumnsummorna $p_{\eta }(y)$ — därav namnet: de står i marginalen. Båda ska summera till $1$.

Den simultana tabellen från lektion 17, övning 1a (nedan) med radsummorna $p_{\xi }(x)$ och kolumnsummorna $p_{\eta }(y)$ i marginalen. Mörkare ruta betyder större sannolikhet.

---

2. Kontinuerligt fall

Med den simultana frekvensfunktionen $f(x,y)$ ersätts summorna med integraler:

$$\boxed{f_{\xi }(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy,f_{\eta }(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx}$$

För fixt $x$ integrerar vi längs den lodräta linjen genom $x$. Integrationsgränserna bestäms av var $f(x,y)$ är skild från noll för det $x$-värdet, och det är där de flesta fel görs.

Gränserna beror på $x$

Är $(\xi ,\eta )$ likformigt fördelad på en cirkelskiva med radie $1$ går $y$ från $-\sqrt{1-x^2}$ till $\sqrt{1-x^2}$ för ett givet $x$. Marginalen blir då $f_{\xi }(x)=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2}$, en halvcirkel och inte en konstant — trots att den simultana fördelningen är likformig.

---

3. Marginalerna räcker inte

Marginalfördelningarna beskriver varje variabel för sig men säger ingenting om hur de beror av varandra. Olika simultana fördelningar kan ha exakt samma marginaler. Bara om $\xi$ och $\eta$ är oberoende går det att återskapa den simultana fördelningen, som produkten $p(x,y)=p_{\xi }(x)p_{\eta }(y)$.

Hur mycket den ena variabeln säger om den andra fångas i stället av den betingade fördelningen och av korrelationen.

Vanliga fel

• Integrerat över fel variabel. $f_{\xi }(x)$ fås genom att integrera bort $y$; svaret får bara innehålla $x$.
• Stödmängden saknas. Ange för vilka $x$ marginalen gäller, och att den är $0$ utanför.
• Produkten av marginalerna som simultan fördelning. $p_{\xi }(x)p_{\eta }(y)$ är den simultana fördelningen bara vid oberoende.
• Ingen kontroll. Marginalen ska summera eller integrera till $1$ — ett snabbt sätt att hitta fel gränser.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Övningarna märkta Kompendiet kommer ur kompendiet om flerdimensionella fördelningar. Det saknar facit, så de är lösta två gånger oberoende av varandra.

Lektion 17, övning 1a — Joels och Majas betyg

Joel och Maja har pluggat tillsammans inför en tenta för överbetyg. Låt $\xi$ och $\eta$ vara betyget för Joel respektive Maja. Den simultana sannolikhetsfunktionen för $(\xi ,\eta )$ är

$x\backslash y$	3	4	5
3	0,31	0,11	0,05
4	0,02	0,22	0,12
5	0,01	0,03	0,13

Bestäm marginalfördelningarna för $\xi$ och $\eta$. Bestäm även väntevärde och standardavvikelse för Majas betyg.

Lösning

Marginalerna. Radsummor ger Joels betyg, kolumnsummor Majas:

$x\backslash y$	3	4	5	$p_{\xi }(x)$
3	0,31	0,11	0,05	0,47
4	0,02	0,22	0,12	0,36
5	0,01	0,03	0,13	0,17
$p_{\eta }(y)$	0,34	0,36	0,30	1

Majas väntevärde.

$$E(\eta )=3\cdot 0,34+4\cdot 0,36+5\cdot 0,30=\boxed{3,96}$$

Majas standardavvikelse. $E({\eta }^2)=9\cdot 0,34+16\cdot 0,36+25\cdot 0,30=16,32$, så

$$V(\eta )=16,32-3,96^2=0,6384,{\sigma }_{\eta }=\sqrt{0,6384}\approx \boxed{0,799}$$

På räknaren. Lägg betygen $3,4,5$ i en lista och sannolikheterna {0.34,0.36,0.30} i en annan. Kör menu → Statistics → Stat Calculations → One-Variable Statistics med sannolikhetslistan som Frequency List. Då är x̄ $=E(\eta )$ och σx $={\sigma }_{\eta }$ — ta σx, inte sx, eftersom vi har hela fördelningen och inte ett stickprov.

Facit: $P(\xi =x)=0,47;0,36;0,17$ och $P(\eta =y)=0,34;0,36;0,30$ för $x,y=3,4,5$; $E(\eta )=3,96$, $\sigma =0,799$.

Kompendiet, övning 1.2 — Likformig fördelning på kvadraten

Låt $(\xi ,\eta )$ vara likformigt fördelad på $K=\{(x,y):0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$. Beräkna marginalfördelningarna för $\xi$ och $\eta$ direkt från definitionen.

Lösning

Simultan frekvensfunktion. $|K|=1$, så $f(x,y)=1$ på $K$ och $0$ utanför.

Marginalen för $\xi$. För ett fixt $x$ mellan $0$ och $1$ är $f(x,y)=1$ precis när $0\le y\le 1$:

$$f_{\xi }(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy={\int }_0^{1}1dy=1,0\le x\le 1$$

och $f_{\xi }(x)=0$ för övriga $x$, eftersom hela den lodräta linjen då ligger utanför $K$. Alltså $\boxed{\xi \in R(0,1)}$.

Marginalen för $\eta$. Samma räkning med rollerna ombytta ger $\boxed{\eta \in R(0,1)}$.

Kommentar. Här är $f(x,y)=f_{\xi }(x)f_{\eta }(y)$ överallt, så $\xi$ och $\eta$ är oberoende. Det är omvändningen till lektion 17, övning 3 a). Jämför med cirkelskivan i varningen ovan: där är marginalerna inte likformiga, och variablerna är beroende.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

---

Se även

• Flerdimensionella fördelningar
• Betingad fördelning och betingat väntevärde
• Lagen om total sannolikhet
• Sannolikhetsfunktion
• Frekvensfunktion

Resurser

• Wikipedia: Marginal distribution

---

← Flerdimensionella fördelningar · S0008M · Betingad fördelning och betingat väntevärde →