--- kurs: - S0008M tags: - matematik - sannolikhetslära - definition förkunskaper: - "[[Flerdimensionella fördelningar]]" status: utkast aliases: - Marginalfördelningar - Marginell fördelning - Marginal distribution --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Flerdimensionella fördelningar]] --- Marginalfördelningen är fördelningen för en av variablerna i en flerdimensionell fördelning, betraktad för sig. Den fås genom att summera eller integrera bort den andra variabeln. --- ## 1. Diskret fall Om $p(x,y)$ är den simultana sannolikhetsfunktionen för $(\xi,\eta)$ ges marginalfördelningarna av $$ \boxed{p_\xi(x) = \sum_y p(x,y), \qquad p_\eta(y) = \sum_x p(x,y)} $$ där summorna tas över alla värden som $\eta$ respektive $\xi$ kan anta. Att $\xi = x$ inträffar är detsamma som att $(\xi,\eta)$ hamnar på raden $x$ i tabellen, oavsett vilket $y$. Raderna är disjunkta händelser, så sannolikheterna adderas — det är [[Lagen om total sannolikhet|lagen om total sannolikhet]] i tabellform. > [!tip] Summera raderna och kolumnerna > Skriv den simultana tabellen och lägg till en summakolumn och en summarad. Radsummorna är $p_\xi(x)$, kolumnsummorna $p_\eta(y)$ — därav namnet: de står i *marginalen*. Båda ska summera till $1$. ![[marginal-tabell.png|440]] *Den simultana tabellen från lektion 17, övning 1a (nedan) med radsummorna $p_\xi(x)$ och kolumnsummorna $p_\eta(y)$ i marginalen. Mörkare ruta betyder större sannolikhet.* --- ## 2. Kontinuerligt fall Med den simultana frekvensfunktionen $f(x,y)$ ersätts summorna med integraler: $$ \boxed{f_\xi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy, \qquad f_\eta(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx} $$ För fixt $x$ integrerar vi längs den lodräta linjen genom $x$. Integrationsgränserna bestäms av var $f(x,y)$ är skild från noll för det $x$-värdet, och det är där de flesta fel görs. > [!warning] Gränserna beror på $x$ > Är $(\xi,\eta)$ likformigt fördelad på en cirkelskiva med radie $1$ går $y$ från $-\sqrt{1-x^2}$ till $\sqrt{1-x^2}$ för ett givet $x$. Marginalen blir då $f_\xi(x) = \frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}$, en halvcirkel och inte en konstant — trots att den simultana fördelningen är likformig. --- ## 3. Marginalerna räcker inte Marginalfördelningarna beskriver varje variabel för sig men säger ingenting om hur de beror av varandra. Olika simultana fördelningar kan ha exakt samma marginaler. Bara om $\xi$ och $\eta$ är oberoende går det att återskapa den simultana fördelningen, som produkten $p(x,y) = p_\xi(x)\,p_\eta(y)$. Hur mycket den ena variabeln säger om den andra fångas i stället av den [[Betingad fördelning och betingat väntevärde|betingade fördelningen]] och av [[Korrelation|korrelationen]]. > [!warning] Vanliga fel > - **Integrerat över fel variabel.** $f_\xi(x)$ fås genom att integrera bort $y$; svaret får bara innehålla $x$. > - **Stödmängden saknas.** Ange för vilka $x$ marginalen gäller, och att den är $0$ utanför. > - **Produkten av marginalerna som simultan fördelning.** $p_\xi(x)\,p_\eta(y)$ är den simultana fördelningen bara vid oberoende. > - **Ingen kontroll.** Marginalen ska summera eller integrera till $1$ — ett snabbt sätt att hitta fel gränser. --- ## 4. Lösta lektionsuppgifter Övningarna märkta *Kompendiet* kommer ur kompendiet om flerdimensionella fördelningar. Det saknar facit, så de är lösta två gånger oberoende av varandra. > [!example]- Lektion 17, övning 1a — Joels och Majas betyg > Joel och Maja har pluggat tillsammans inför en tenta för överbetyg. Låt $\xi$ och $\eta$ vara betyget för Joel respektive Maja. Den simultana sannolikhetsfunktionen för $(\xi,\eta)$ är > > | $x\backslash y$ | 3 | 4 | 5 | > |---|---|---|---| > | **3** | 0,31 | 0,11 | 0,05 | > | **4** | 0,02 | 0,22 | 0,12 | > | **5** | 0,01 | 0,03 | 0,13 | > > Bestäm marginalfördelningarna för $\xi$ och $\eta$. Bestäm även väntevärde och standardavvikelse för Majas betyg. > > > [!note]- Lösning > > **Marginalerna.** Radsummor ger Joels betyg, kolumnsummor Majas: > > > > | $x\backslash y$ | 3 | 4 | 5 | $p_\xi(x)$ | > > |---|---|---|---|---| > > | **3** | 0,31 | 0,11 | 0,05 | **0,47** | > > | **4** | 0,02 | 0,22 | 0,12 | **0,36** | > > | **5** | 0,01 | 0,03 | 0,13 | **0,17** | > > | $p_\eta(y)$ | **0,34** | **0,36** | **0,30** | 1 | > > > > **Majas väntevärde.** > > $$ > > E(\eta) = 3\cdot0{,}34 + 4\cdot0{,}36 + 5\cdot0{,}30 = \boxed{3{,}96} > > $$ > > > > **Majas standardavvikelse.** $E(\eta^2) = 9\cdot0{,}34 + 16\cdot0{,}36 + 25\cdot0{,}30 = 16{,}32$, så > > $$ > > V(\eta) = 16{,}32 - 3{,}96^2 = 0{,}6384, \qquad \sigma_\eta = \sqrt{0{,}6384} \approx \boxed{0{,}799} > > $$ > > > > **På räknaren.** Lägg betygen $3, 4, 5$ i en lista och sannolikheterna `{0.34,0.36,0.30}` i en annan. Kör `menu` → **Statistics** → **Stat Calculations** → **One-Variable Statistics** med sannolikhetslistan som **Frequency List**. Då är `x̄` $= E(\eta)$ och `σx` $= \sigma_\eta$ — ta `σx`, inte `sx`, eftersom vi har hela fördelningen och inte ett stickprov. > > > > *Facit: $P(\xi = x) = 0{,}47;\ 0{,}36;\ 0{,}17$ och $P(\eta = y) = 0{,}34;\ 0{,}36;\ 0{,}30$ för $x, y = 3, 4, 5$; $E(\eta) = 3{,}96$, $\sigma = 0{,}799$.* > [!example]- Kompendiet, övning 1.2 — Likformig fördelning på kvadraten > Låt $(\xi,\eta)$ vara likformigt fördelad på $K = \{(x,y): 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\}$. Beräkna marginalfördelningarna för $\xi$ och $\eta$ direkt från definitionen. > > > [!note]- Lösning > > **Simultan frekvensfunktion.** $|K| = 1$, så $f(x,y) = 1$ på $K$ och $0$ utanför. > > > > **Marginalen för $\xi$.** För ett fixt $x$ mellan $0$ och $1$ är $f(x,y) = 1$ precis när $0\le y\le 1$: > > $$ > > f_\xi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy = \int_0^1 1\,dy = 1, \qquad 0\le x\le 1 > > $$ > > och $f_\xi(x) = 0$ för övriga $x$, eftersom hela den lodräta linjen då ligger utanför $K$. Alltså $\boxed{\xi\in R(0,1)}$. > > > > **Marginalen för $\eta$.** Samma räkning med rollerna ombytta ger $\boxed{\eta\in R(0,1)}$. > > > > **Kommentar.** Här är $f(x,y) = f_\xi(x)\,f_\eta(y)$ överallt, så $\xi$ och $\eta$ är oberoende. Det är omvändningen till [[Flerdimensionella fördelningar|lektion 17, övning 3 a)]]. Jämför med cirkelskivan i varningen ovan: där är marginalerna inte likformiga, och variablerna är beroende. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* --- ## Se även - [[Flerdimensionella fördelningar]] - [[Betingad fördelning och betingat väntevärde]] - [[Lagen om total sannolikhet]] - [[Sannolikhetsfunktion]] - [[Frekvensfunktion]] ## Resurser - [Wikipedia: Marginal distribution](https://en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution) --- ← [[Flerdimensionella fördelningar]] · [[S0008M]] · [[Betingad fördelning och betingat väntevärde]] →