Lagen om total sannolikhet

Kurs: S0008M Förkunskaper: Betingad sannolikhet

---

Delar vi upp utfallsrummet i disjunkta fall kan sannolikheten för en händelse räknas fall för fall och sedan summeras. Varje term är fallets sannolikhet gånger den betingade sannolikheten för händelsen i just det fallet.

---

1. Satsen

Sats 2.7. Antag att händelserna $B_1,B_2,\dots ,B_n$ är disjunkta och tillsammans utgör hela utfallsrummet. Då gäller för varje händelse $A$ att

$$\boxed{P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)+\cdots +P(B_n)P(A\mid B_n)}$$

---

2. Varför

$B_1,\dots ,B_n$ skär $A$ i disjunkta bitar $A\cap B_1,\dots ,A\cap B_n$ som tillsammans är hela $A$:

Disjunkta bitar adderas enligt sannolikhetsmåttets egenskap c), och varje bit skrivs om med multiplikationsformeln $P(A\cap B_i)=P(B_i)P(A\mid B_i)$:

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\cap B_i)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)$$

---

3. I ett träddiagram

Satsen är exakt det vi gör i ett träddiagram: första nivån är fallen $B_i$, andra nivån är de betingade sannolikheterna för $A$ i varje fall. Vi multiplicerar längs varje gren som slutar i $A$ och adderar grenarna.

När satsen behövs

Signalen i en uppgift är att sannolikheten för $A$ är given per grupp — per fabrik, per transportsätt, per skickat tecken — tillsammans med hur stor varje grupp är. Då är fallen $B_i$ grupperna.

Frågar uppgiften därefter “givet att $A$ inträffade, vilken grupp kom det från?” är nästa steg Bayes sats.

Vanliga fel

• Fallen täcker inte allt eller överlappar. $B_1,\dots ,B_n$ måste vara disjunkta och tillsammans vara hela $\Omega$. Kontroll: $P(B_1)+\cdots +P(B_n)=1$.
• Summera de betingade sannolikheterna utan vikter. $P(A\mid B_1)+P(A\mid B_2)$ är ingen sannolikhet. Varje term ska vägas med $P(B_i)$.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 2, övning 6a (Vännman 2.25) — Batterier från tre fabriker

Tillverkningen av ett batteri är förlagd till tre fabriker: fabrik $A$ står för $50\%$, $B$ för $20\%$ och $C$ för $30\%$. Ett batteri från fabrik $A$ har $95\%$ sannolikhet att räcka mer än 100 drifttimmar. Motsvarande för $B$ och $C$ är $97\%$ respektive $98\%$. Batterierna blandas i ett stort centrallager. Vad är sannolikheten att ett batteri som tas på måfå ur lagret räcker mer än 100 drifttimmar?

Lösning

Beteckningar. $A$, $B$, $C$ = batteriet kommer från respektive fabrik; $H$ = batteriet räcker mer än 100 timmar. Fabrikerna är disjunkta och täcker hela lagret.

$$\begin{array}{rlrl}P(A)& =0,50,& P(H\mid A)& =0,95\\ P(B)& =0,20,& P(H\mid B)& =0,97\\ P(C)& =0,30,& P(H\mid C)& =0,98\end{array}$$

Lagen om total sannolikhet — i trädet är det summan av de grenar som slutar i $H$:

$$P(H)=0,50\cdot 0,95+0,20\cdot 0,97+0,30\cdot 0,98=0,475+0,194+0,294=\boxed{0,963}$$

Rimlighetskoll. Svaret är ett viktat medelvärde av $0,95$, $0,97$ och $0,98$ och måste därför ligga mellan dem. Det gör det, och närmast $0,95$ eftersom fabrik $A$ väger tyngst.

Fortsättningen, b), finns i Bayes sats.

Svar i boken (2:a uppl., 2.24 = 3:e uppl. 2.25): 0,96.

Lektion 2, övning 8b (Vännman 2.27) — Felaktigt överförda tecken

Meddelanden kodade i binära tecken 0 och 1 överförs i ett telekommunikationssystem. Ett utsänt tecken 0 mottas som 1 med sannolikhet $0,01$ (och som 0 med sannolikhet $0,99$). Ett utsänt tecken 1 mottas som 0 med sannolikhet $0,02$ (och som 1 med sannolikhet $0,98$). Tecknet 1 förekommer i proportion $0,6$ och tecknet 0 i proportion $0,4$. Hur stor andel av tecknen överförs felaktigt?

Lösning

Beteckningar. $S_0$, $S_1$ = tecknet 0 respektive 1 skickas; $M_0$, $M_1$ = tecknet 0 respektive 1 mottas.

Ett fel är att skicka 0 och ta emot 1, eller att skicka 1 och ta emot 0. De två grenarna är disjunkta:

$$P(\text{fel})=P(S_0)P(M_1\mid S_0)+P(S_1)P(M_0\mid S_1)=0,4\cdot 0,01+0,6\cdot 0,02=0,004+0,012=\boxed{0,016}$$

Deluppgift a) finns i Bayes sats.

Svar i boken (2:a uppl., 2.26 = 3:e uppl. 2.27): 0,016. Stämmer också med det handskrivna lösningsförslaget.

---

Se även

• Betingad sannolikhet
• Bayes sats
• Sannolikhetsmått
• Multiplikationsprincipen

Resurser

• Khan Academy: Probability
• Wikipedia: Law of total probability

---

← Betingad sannolikhet · S0008M · Bayes sats →