Bayes sats

Kurs: S0008M Förkunskaper: Betingad sannolikhet, Lagen om total sannolikhet

Bayes sats vänder på en betingning: vet vi hur sannolik händelsen $A$ är i varje fall $B_{i}$ , kan vi räkna ut hur sannolikt varje fall är givet att $A$ har inträffat. Nämnaren är lagen om total sannolikhet.

1. Satsen

Låt $B_{1}, \dots, B_{n}$ vara disjunkta och tillsammans utgöra hela utfallsrummet, och låt $P (A) > 0$ . Då är

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( B _{i} ) P ( A ∣ B _{i} )}{j = 1 \sum n P ( B _{j} ) P ( A ∣ B _{j} )}

2. Varför

Det är ingen ny idé, bara två kända formler efter varandra. Definitionen ger

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( B _{i} \cap A )}{P ( A )}

Täljaren skrivs om med multiplikationsformeln, $P (B_{i} \cap A) = P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})$ , och nämnaren med lagen om total sannolikhet.

I träddiagrammet

Täljaren är en gren som slutar i $A$ . Nämnaren är alla grenar som slutar i $A$ . $P (B_{i} ∣ A)$ är alltså den andel av $A$ -massan som kommer via gren $i$ .

3. Det vi har och det vi söker

Uppgifter ger nästan alltid $P (A ∣ B_{i})$ — hur ofta en fabrik tillverkar defekta enheter, hur ofta ett tecken störs — men frågar efter $P (B_{i} ∣ A)$ : givet en defekt enhet, vilken fabrik kom den från?

Basfrekvensen avgör

Även om $P (A ∣ B_{i})$ är liten kan $P (B_{i} ∣ A)$ bli stor om $B_{i}$ är vanlig, och tvärtom. Att glömma faktorn $P (B_{i})$ i täljaren är det vanligaste felet.

Exempel — Ett positivt test för en ovanlig sjukdom

En sjukdom finns hos $1 %$ av befolkningen. Ett test ger positivt svar hos $95 %$ av de sjuka och hos $10 %$ av de friska. En slumpmässigt vald person testar positivt. Vad är sannolikheten att personen är sjuk?

Lösning

Beteckningar. $S$ = personen är sjuk, $+$ = testet är positivt. Givet: $P (S) = 0, 01$ , $P (+ ∣ S) = 0, 95$ , $P (+ ∣ S^{c}) = 0, 10$ .

Bayes sats med fallen $S$ och $S^{c}$ :

$P (S ∣ +) = \frac{0 , 01 \cdot 0 , 95}{0 , 01 \cdot 0 , 95 + 0 , 99 \cdot 0 , 10} = \frac{0 , 0095}{0 , 1085} \approx 0, 088$

Tolkning med naturliga frekvenser. Tänk dig $10000$ personer: $100$ är sjuka, och $95$ av dem testar positivt. Av de $9900$ friska testar $990$ positivt. Bland de $1085$ positiva är alltså bara $95$ sjuka:

Testet är bra, men sjukdomen är så ovanlig att de falska positiva från den stora friska gruppen blir tio gånger fler än de sanna positiva.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 2, övning 6b (Vännman 2.25) — Vilken fabrik?

Fortsättning från Lagen om total sannolikhet: fabrik $A$ , $B$ och $C$ står för $50 %$ , $20 %$ och $30 %$ av batterierna, och andelen som räcker mer än 100 drifttimmar är $95 %$ , $97 %$ och $98 %$ . Vi tar på måfå ett batteri ur lagret och finner att det räcker mer än 100 drifttimmar. Vad är sannolikheten att det är tillverkat i fabrik $A$ ?

Lösning

Med $H$ = batteriet räcker mer än 100 timmar gav lagen om total sannolikhet $P (H) = 0, 963$ . Bayes sats:

$P (A ∣ H) = \frac{P ( A ) P ( H ∣ A )}{P ( H )} = \frac{0 , 50 \cdot 0 , 95}{0 , 963} = \frac{0 , 475}{0 , 963} \approx 0, 49$

Rimlighetskoll. Fabrik $A$ gör hälften av batterierna men har den lägsta hållbarheten, så bland de hållbara batterierna bör andelen från $A$ vara lite under $0, 50$ . Det är den.

Svar i boken (2:a uppl., 2.24 = 3:e uppl. 2.25): 0,49.

Lektion 2, övning 7 (Vännman 2.23) — Skador på en arbetsplats

På en arbetsplats skadades $1 %$ av personalen under ett år. $60 %$ av alla skadade var män. $30 %$ av de anställda var kvinnor. Är det de manliga eller de kvinnliga anställda som löper störst risk att råka ut för en skada enligt denna undersökning?

Lösning

Beteckningar. $S$ = personen skadas; $M$ = personen är man; $K = M^{c}$ = personen är kvinna.

Givet. $P (S) = 0, 01$ , $P (M ∣ S) = 0, 60$ , $P (K) = 0, 30$ , alltså $P (M) = 0, 70$ och $P (K ∣ S) = 0, 40$ .

Vi söker risken per kön, $P (S ∣ M)$ och $P (S ∣ K)$ — betingningen åt andra hållet mot det som är givet. Bayes sats, här med nämnaren $P (M)$ given direkt:

$P (S ∣ M) = \frac{P ( S ) P ( M ∣ S )}{P ( M )} = \frac{0 , 01 \cdot 0 , 60}{0 , 70} \approx 0, 0086$

$P (S ∣ K) = \frac{P ( S ) P ( K ∣ S )}{P ( K )} = \frac{0 , 01 \cdot 0 , 40}{0 , 30} \approx 0, 0133$

Svar. $De kvinnliga anst \overset{a}{¨} llda$ löper störst risk, trots att de flesta skadade är män. Männen är fler, och därför är de också fler bland de skadade.

Svar i boken (2:a uppl., 2.22 = 3:e uppl. 2.23): kvinnor.

Lektion 2, övning 8a (Vännman 2.27) — Mottagen etta

Samma telekommunikationssystem som i Lagen om total sannolikhet: tecknet 1 skickas i proportion $0, 6$ och 0 i proportion $0, 4$ ; ett utsänt 0 mottas som 1 med sannolikhet $0, 01$ och ett utsänt 1 mottas som 0 med sannolikhet $0, 02$ . Om 1 har mottagits, vad är den betingade sannolikheten att 1 har sänts?

Lösning

Med $S_{0}, S_{1}$ = skickat 0 respektive 1 och $M_{1}$ = mottaget 1 ger lagen om total sannolikhet nämnaren:

$P (M_{1}) = P (S_{0}) P (M_{1} ∣ S_{0}) + P (S_{1}) P (M_{1} ∣ S_{1}) = 0, 4 \cdot 0, 01 + 0, 6 \cdot 0, 98 = 0, 004 + 0, 588 = 0, 592$

Bayes sats:

$P (S_{1} ∣ M_{1}) = \frac{P ( S _{1} ) P ( M _{1} ∣ S _{1} )}{P ( M _{1} )} = \frac{0 , 588}{0 , 592} \approx 0, 993$

I träddiagrammet i Lagen om total sannolikhet är det grenen $S_{1} \cap M_{1}$ delad med summan av de två grenar som slutar i $M_{1}$ .

Svar i boken (2:a uppl., 2.26 = 3:e uppl. 2.27): 0,993. Stämmer också med det handskrivna lösningsförslaget.

Se även

Resurser

3Blue1Brown: Bayes theorem, the geometry of changing beliefs — bästa visuella förklaringen av varför basfrekvensen spelar roll
Wikipedia: Bayes sats

← Lagen om total sannolikhet · S0008M · Oberoende händelser →

Pelles Moln

Utforskare

1. Satsen

2. Varför

3. Det vi har och det vi söker

4. Lösta lektionsuppgifter

Se även

Resurser

Innehåll

Grafvy

Bakåtlänkar