--- kurs: - S0008M tags: - matematik - sannolikhetslära - sats förkunskaper: - "[[Betingad sannolikhet]]" - "[[Lagen om total sannolikhet]]" status: utkast aliases: - Bayes formel - Bayes regel - Omvänd sannolikhet --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Betingad sannolikhet]], [[Lagen om total sannolikhet]] --- Bayes sats vänder på en betingning: vet vi hur sannolik händelsen $A$ är i varje fall $B_i$, kan vi räkna ut hur sannolikt varje fall är givet att $A$ har inträffat. Nämnaren är lagen om total sannolikhet. --- ## 1. Satsen Låt $B_1,\dots,B_n$ vara disjunkta och tillsammans utgöra hela utfallsrummet, och låt $P(A) > 0$. Då är $$ \boxed{P(B_i\mid A) = \dfrac{P(B_i)\,P(A\mid B_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(B_j)\,P(A\mid B_j)}} $$ --- ## 2. Varför Det är ingen ny idé, bara två kända formler efter varandra. [[Betingad sannolikhet|Definitionen]] ger $$ P(B_i\mid A) = \dfrac{P(B_i\cap A)}{P(A)} $$ Täljaren skrivs om med multiplikationsformeln, $P(B_i\cap A) = P(B_i)\,P(A\mid B_i)$, och nämnaren med [[Lagen om total sannolikhet|lagen om total sannolikhet]]. > [!tip] I träddiagrammet > Täljaren är **en** gren som slutar i $A$. Nämnaren är **alla** grenar som slutar i $A$. $P(B_i\mid A)$ är alltså den andel av $A$-massan som kommer via gren $i$. --- ## 3. Det vi har och det vi söker Uppgifter ger nästan alltid $P(A\mid B_i)$ — hur ofta en fabrik tillverkar defekta enheter, hur ofta ett tecken störs — men frågar efter $P(B_i\mid A)$: givet en defekt enhet, vilken fabrik kom den från? > [!warning] Basfrekvensen avgör > Även om $P(A\mid B_i)$ är liten kan $P(B_i\mid A)$ bli stor om $B_i$ är vanlig, och tvärtom. Att glömma faktorn $P(B_i)$ i täljaren är det vanligaste felet. > [!example]- Exempel — Ett positivt test för en ovanlig sjukdom > En sjukdom finns hos $1\ \%$ av befolkningen. Ett test ger positivt svar hos $95\ \%$ av de sjuka och hos $10\ \%$ av de friska. En slumpmässigt vald person testar positivt. Vad är sannolikheten att personen är sjuk? > > > [!note]- Lösning > > **Beteckningar.** $S$ = personen är sjuk, $+$ = testet är positivt. Givet: $P(S) = 0{,}01$, $P(+\mid S) = 0{,}95$, $P(+\mid S^c) = 0{,}10$. > > > > **Bayes sats** med fallen $S$ och $S^c$: > > $$ > > P(S\mid +) = \dfrac{0{,}01\cdot0{,}95}{0{,}01\cdot0{,}95 + 0{,}99\cdot0{,}10} = \dfrac{0{,}0095}{0{,}1085} \approx \boxed{0{,}088} > > $$ > > > > **Tolkning med naturliga frekvenser.** Tänk dig $10\,000$ personer: $100$ är sjuka, och $95$ av dem testar positivt. Av de $9900$ friska testar $990$ positivt. Bland de $1085$ positiva är alltså bara $95$ sjuka: > > > > ![[bayes-test-frekvenser.png|520]] > > > > Testet är bra, men sjukdomen är så ovanlig att de falska positiva från den stora friska gruppen blir tio gånger fler än de sanna positiva. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* --- ## 4. Lösta lektionsuppgifter > [!example]- Lektion 2, övning 6b (Vännman 2.25) — Vilken fabrik? > Fortsättning från [[Lagen om total sannolikhet]]: fabrik $A$, $B$ och $C$ står för $50\ \%$, $20\ \%$ och $30\ \%$ av batterierna, och andelen som räcker mer än 100 drifttimmar är $95\ \%$, $97\ \%$ och $98\ \%$. Vi tar på måfå ett batteri ur lagret och finner att det räcker mer än 100 drifttimmar. Vad är sannolikheten att det är tillverkat i fabrik $A$? > > > [!note]- Lösning > > Med $H$ = batteriet räcker mer än 100 timmar gav lagen om total sannolikhet $P(H) = 0{,}963$. Bayes sats: > > $$ > > P(A\mid H) = \dfrac{P(A)\,P(H\mid A)}{P(H)} = \dfrac{0{,}50\cdot0{,}95}{0{,}963} = \dfrac{0{,}475}{0{,}963} \approx \boxed{0{,}49} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** Fabrik $A$ gör hälften av batterierna men har den lägsta hållbarheten, så bland de hållbara batterierna bör andelen från $A$ vara lite under $0{,}50$. Det är den. > > > > *Svar i boken (2:a uppl., 2.24 = 3:e uppl. 2.25): 0,49.* > [!example]- Lektion 2, övning 7 (Vännman 2.23) — Skador på en arbetsplats > På en arbetsplats skadades $1\ \%$ av personalen under ett år. $60\ \%$ av alla skadade var män. $30\ \%$ av de anställda var kvinnor. Är det de manliga eller de kvinnliga anställda som löper störst risk att råka ut för en skada enligt denna undersökning? > > > [!note]- Lösning > > **Beteckningar.** $S$ = personen skadas; $M$ = personen är man; $K = M^c$ = personen är kvinna. > > > > **Givet.** $P(S) = 0{,}01$, $P(M\mid S) = 0{,}60$, $P(K) = 0{,}30$, alltså $P(M) = 0{,}70$ och $P(K\mid S) = 0{,}40$. > > > > Vi söker risken per kön, $P(S\mid M)$ och $P(S\mid K)$ — betingningen åt andra hållet mot det som är givet. Bayes sats, här med nämnaren $P(M)$ given direkt: > > $$ > > P(S\mid M) = \dfrac{P(S)\,P(M\mid S)}{P(M)} = \dfrac{0{,}01\cdot0{,}60}{0{,}70} \approx 0{,}0086 > > $$ > > $$ > > P(S\mid K) = \dfrac{P(S)\,P(K\mid S)}{P(K)} = \dfrac{0{,}01\cdot0{,}40}{0{,}30} \approx 0{,}0133 > > $$ > > > > **Svar.** $\boxed{\text{De kvinnliga anställda}}$ löper störst risk, trots att de flesta skadade är män. Männen är fler, och därför är de också fler bland de skadade. > > > > *Svar i boken (2:a uppl., 2.22 = 3:e uppl. 2.23): kvinnor.* > [!example]- Lektion 2, övning 8a (Vännman 2.27) — Mottagen etta > Samma telekommunikationssystem som i [[Lagen om total sannolikhet]]: tecknet 1 skickas i proportion $0{,}6$ och 0 i proportion $0{,}4$; ett utsänt 0 mottas som 1 med sannolikhet $0{,}01$ och ett utsänt 1 mottas som 0 med sannolikhet $0{,}02$. Om 1 har mottagits, vad är den betingade sannolikheten att 1 har sänts? > > > [!note]- Lösning > > Med $S_0, S_1$ = skickat 0 respektive 1 och $M_1$ = mottaget 1 ger lagen om total sannolikhet nämnaren: > > $$ > > P(M_1) = P(S_0)\,P(M_1\mid S_0) + P(S_1)\,P(M_1\mid S_1) = 0{,}4\cdot0{,}01 + 0{,}6\cdot0{,}98 = 0{,}004 + 0{,}588 = 0{,}592 > > $$ > > > > Bayes sats: > > $$ > > P(S_1\mid M_1) = \dfrac{P(S_1)\,P(M_1\mid S_1)}{P(M_1)} = \dfrac{0{,}588}{0{,}592} \approx \boxed{0{,}993} > > $$ > > > > I träddiagrammet i [[Lagen om total sannolikhet]] är det grenen $S_1\cap M_1$ delad med summan av de två grenar som slutar i $M_1$. > > > > *Svar i boken (2:a uppl., 2.26 = 3:e uppl. 2.27): 0,993. Stämmer också med det handskrivna lösningsförslaget.* --- ## Se även - [[Betingad sannolikhet]] - [[Lagen om total sannolikhet]] - [[Sannolikhetsmått]] ## Resurser - [3Blue1Brown: Bayes theorem, the geometry of changing beliefs](https://www.youtube.com/watch?v=HZGCoVF3YvM) — bästa visuella förklaringen av varför basfrekvensen spelar roll - [Wikipedia: Bayes sats](https://sv.wikipedia.org/wiki/Bayes_sats) --- ← [[Lagen om total sannolikhet]] · [[S0008M]] · [[Oberoende händelser]] →