---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - sats
förkunskaper:
  - "[[Betingad sannolikhet]]"
status: utkast
aliases:
  - Total sannolikhet
  - Satsen om total sannolikhet
  - Sats 2.7
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Betingad sannolikhet]]

---

Delar vi upp utfallsrummet i disjunkta fall kan sannolikheten för en händelse räknas fall för fall och sedan summeras. Varje term är fallets sannolikhet gånger den betingade sannolikheten för händelsen i just det fallet.

---

## 1. Satsen

**Sats 2.7.** Antag att händelserna $B_1, B_2, \dots, B_n$ är disjunkta och tillsammans utgör hela [[Utfallsrum och händelser|utfallsrummet]]. Då gäller för varje händelse $A$ att

$$
\boxed{P(A) = P(B_1)\,P(A\mid B_1) + P(B_2)\,P(A\mid B_2) + \dots + P(B_n)\,P(A\mid B_n)}
$$

---

## 2. Varför

$B_1,\dots,B_n$ skär $A$ i disjunkta bitar $A\cap B_1,\ \dots,\ A\cap B_n$ som tillsammans är hela $A$:

![[total-sannolikhet-partition.png|480]]

Disjunkta bitar adderas enligt [[Sannolikhetsmått|sannolikhetsmåttets]] egenskap c), och varje bit skrivs om med [[Betingad sannolikhet|multiplikationsformeln]] $P(A\cap B_i) = P(B_i)\,P(A\mid B_i)$:

$$
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A\cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)\,P(A\mid B_i)
$$

---

## 3. I ett träddiagram

Satsen är exakt det vi gör i ett träddiagram: första nivån är fallen $B_i$, andra nivån är de betingade sannolikheterna för $A$ i varje fall. Vi multiplicerar längs varje gren som slutar i $A$ och adderar grenarna.

> [!tip] När satsen behövs
> Signalen i en uppgift är att sannolikheten för $A$ är given *per grupp* — per fabrik, per transportsätt, per skickat tecken — tillsammans med hur stor varje grupp är. Då är fallen $B_i$ grupperna.

Frågar uppgiften därefter "givet att $A$ inträffade, vilken grupp kom det från?" är nästa steg [[Bayes sats]].

> [!warning] Vanliga fel
> - **Fallen täcker inte allt eller överlappar.** $B_1,\dots,B_n$ måste vara disjunkta och tillsammans vara hela $\Omega$. Kontroll: $P(B_1) + \dots + P(B_n) = 1$.
> - **Summera de betingade sannolikheterna utan vikter.** $P(A\mid B_1) + P(A\mid B_2)$ är ingen sannolikhet. Varje term ska vägas med $P(B_i)$.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 2, övning 6a (Vännman 2.25) — Batterier från tre fabriker
> Tillverkningen av ett batteri är förlagd till tre fabriker: fabrik $A$ står för $50\ \%$, $B$ för $20\ \%$ och $C$ för $30\ \%$. Ett batteri från fabrik $A$ har $95\ \%$ sannolikhet att räcka mer än 100 drifttimmar. Motsvarande för $B$ och $C$ är $97\ \%$ respektive $98\ \%$. Batterierna blandas i ett stort centrallager. Vad är sannolikheten att ett batteri som tas på måfå ur lagret räcker mer än 100 drifttimmar?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Beteckningar.** $A$, $B$, $C$ = batteriet kommer från respektive fabrik; $H$ = batteriet räcker mer än 100 timmar. Fabrikerna är disjunkta och täcker hela lagret.
> >
> > $$
> > \begin{aligned}
> > P(A) &= 0{,}50, & P(H\mid A) &= 0{,}95 \\
> > P(B) &= 0{,}20, & P(H\mid B) &= 0{,}97 \\
> > P(C) &= 0{,}30, & P(H\mid C) &= 0{,}98
> > \end{aligned}
> > $$
> >
> > Lagen om total sannolikhet — i trädet är det summan av de grenar som slutar i $H$:
> >
> > ![[lek02-batterier-trad.png|460]]
> >
> > $$
> > P(H) = 0{,}50\cdot0{,}95 + 0{,}20\cdot0{,}97 + 0{,}30\cdot0{,}98 = 0{,}475 + 0{,}194 + 0{,}294 = \boxed{0{,}963}
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** Svaret är ett viktat medelvärde av $0{,}95$, $0{,}97$ och $0{,}98$ och måste därför ligga mellan dem. Det gör det, och närmast $0{,}95$ eftersom fabrik $A$ väger tyngst.
> >
> > Fortsättningen, b), finns i [[Bayes sats]].
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 2.24 = 3:e uppl. 2.25): 0,96.*

> [!example]- Lektion 2, övning 8b (Vännman 2.27) — Felaktigt överförda tecken
> Meddelanden kodade i binära tecken 0 och 1 överförs i ett telekommunikationssystem. Ett utsänt tecken 0 mottas som 1 med sannolikhet $0{,}01$ (och som 0 med sannolikhet $0{,}99$). Ett utsänt tecken 1 mottas som 0 med sannolikhet $0{,}02$ (och som 1 med sannolikhet $0{,}98$). Tecknet 1 förekommer i proportion $0{,}6$ och tecknet 0 i proportion $0{,}4$. Hur stor andel av tecknen överförs felaktigt?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Beteckningar.** $S_0$, $S_1$ = tecknet 0 respektive 1 skickas; $M_0$, $M_1$ = tecknet 0 respektive 1 mottas.
> >
> > ![[traddiagram-telekom.png|520]]
> >
> > Ett fel är att skicka 0 och ta emot 1, eller att skicka 1 och ta emot 0. De två grenarna är disjunkta:
> > $$
> > P(\text{fel}) = P(S_0)\,P(M_1\mid S_0) + P(S_1)\,P(M_0\mid S_1) = 0{,}4\cdot0{,}01 + 0{,}6\cdot0{,}02 = 0{,}004 + 0{,}012 = \boxed{0{,}016}
> > $$
> >
> > Deluppgift a) finns i [[Bayes sats]].
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 2.26 = 3:e uppl. 2.27): 0,016. Stämmer också med det handskrivna lösningsförslaget.*

---

## Se även

- [[Betingad sannolikhet]]
- [[Bayes sats]]
- [[Sannolikhetsmått]]
- [[Multiplikationsprincipen]]

## Resurser

- [Khan Academy: Probability](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library)
- [Wikipedia: Law of total probability](https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_probability)

---

← [[Betingad sannolikhet]] · [[S0008M]] · [[Bayes sats]] →