Kurs: S0008M Förkunskaper: Klassiska sannolikhetsdefinitionen
Görs flera operationer i tur och ordning multipliceras antalet sätt att göra var och en. Principen räknar ordnade val och är grunden för all kombinatorik i kursen.
1. Principen
Definition 2.2. Ska vi göra operationer i tur och ordning, där den första kan göras på sätt, den andra på sätt och så vidare, så är det totala antalet sätt
Väljer vi två dosor ur en förpackning med fem kan den första väljas på sätt och den andra på , så det finns möjliga utfall.
2. Träddiagram
Principen syns tydligast i ett träddiagram: varje nivå är en operation, och antalet grenar multipliceras nivå för nivå. En planka som bedöms på tre stationer med , och alternativ ger ett träd med löv.
Trädet är också användbart för att lista utfallen och räkna de gynnsamma direkt, vilket ofta är säkrare än att räkna med formler när antalet utfall är litet.
3. Med hänsyn till ordning
Principen räknar ordnade val
Att först dra dosa 1 och sedan dosa 2 är ett annat utfall än att först dra dosa 2 och sedan dosa 1. Det är rätt när frågan gäller en ordning (“först en fungerande och sedan en trasig”), men dubbelräknar när ordningen inte spelar någon roll. Då delar vi bort de inbördes ordningarna, och det leder till binomialkoefficienten.
Att välja element bland kan göras på fyra sätt, beroende på två frågor: läggs det valda tillbaka, och spelar ordningen roll? Tre av dem förekommer i kursen:
| Ordningen spelar roll | Ordningen spelar ingen roll | |
|---|---|---|
| Med återläggning | (förekommer inte i kursen) | |
| Utan återläggning |
Båda talen i vänsterkolumnen är multiplikationsprincipen direkt: med återläggning har varje val alternativ, utan återläggning ett färre för varje val. Specialfallet utan återläggning ger , antalet sätt att ordna saker.
Exempel — Kod till ett cykellås
Ett cykellås har fyra ringar med siffrorna –.
a) Hur många koder finns?
b) Hur många koder har fyra olika siffror?
c) Vi väljer en kod på måfå. Vad är sannolikheten att alla fyra siffror är olika?
Lösning
a) Varje ring har lägen oberoende av de andra, och ordningen spelar roll ( är inte ). Det är ordnat med återläggning:
b) Nu får en siffra som redan använts inte väljas igen: ordnat utan återläggning.
c) Alla koder är lika sannolika, så klassiska sannolikhetsdefinitionen ger
Nästan varannan kod har alltså en upprepad siffra — fler än man kanske gissar.
På räknaren.
nPr(10,4)ger5040.Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.
Vanliga fel
- Blanda ihop kolumnerna. Fråga dig om och är samma utfall. Är de det ska ordningen bort, annars inte.
- Räkna och på olika sätt. Räknas de möjliga utfallen som ordnade måste de gynnsamma också räknas som ordnade, se Klassiska sannolikhetsdefinitionen.
- Glömma att ett val påverkar nästa. Utan återläggning minskar antalet alternativ för varje val, , inte .
4. Lösta lektionsuppgifter
Lektion 1, övning 2 — Tre schaktmaskiner
En maskintyp har chans att fungera i minst sex månader utan att några delar behöver bytas. Vi köper tre maskiner. Vad är sannolikheten att
a) alla tre,
b) exakt två
har fungerat utan delbyte efter sex månader?
Lösning
Låt F = maskinen fungerar efter sex månader och O = den fungerar inte. Varje maskin ger F eller O, så enligt multiplikationsprincipen finns utfall. Eftersom F och O är lika troliga är alla åtta lika sannolika.
a) Bara utfallet FFF ger att alla tre fungerar: .
b) Utfallen med exakt två F är FFO, FOF och OFF (markerade i trädet): .
Facit: a) 0,125, b) 0,375.
Se även
Resurser
← Klassiska sannolikhetsdefinitionen · S0008M · Binomialkoefficient →