---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - kombinatorik
  - princip
förkunskaper:
  - "[[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]]"
status: utkast
aliases:
  - Multiplikationsregeln
  - Träddiagram
  - Kombinatorik
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]]

---

Görs flera operationer i tur och ordning multipliceras antalet sätt att göra var och en. Principen räknar ordnade val och är grunden för all kombinatorik i kursen.

---

## 1. Principen

**Definition 2.2.** Ska vi göra $k$ operationer i tur och ordning, där den första kan göras på $n_1$ sätt, den andra på $n_2$ sätt och så vidare, så är det totala antalet sätt

$$
\boxed{n_1 \cdot n_2 \cdots n_k}
$$

Väljer vi två dosor ur en förpackning med fem kan den första väljas på $5$ sätt och den andra på $4$, så det finns $5\cdot 4 = 20$ möjliga utfall.

---

## 2. Träddiagram

Principen syns tydligast i ett **träddiagram**: varje nivå är en operation, och antalet grenar multipliceras nivå för nivå. En planka som bedöms på tre stationer med $3$, $2$ och $2$ alternativ ger ett träd med $3\cdot2\cdot2 = 12$ löv.

Trädet är också användbart för att *lista* utfallen och räkna de gynnsamma direkt, vilket ofta är säkrare än att räkna med formler när antalet utfall är litet.

---

## 3. Med hänsyn till ordning

> [!note] Principen räknar ordnade val
> Att först dra dosa 1 och sedan dosa 2 är ett annat utfall än att först dra dosa 2 och sedan dosa 1. Det är rätt när frågan gäller en ordning ("först en fungerande och sedan en trasig"), men dubbelräknar när ordningen inte spelar någon roll. Då delar vi bort de inbördes ordningarna, och det leder till [[Binomialkoefficient|binomialkoefficienten]].

Att välja $k$ element bland $n$ kan göras på fyra sätt, beroende på två frågor: läggs det valda tillbaka, och spelar ordningen roll? Tre av dem förekommer i kursen:

| | Ordningen spelar roll | Ordningen spelar ingen roll |
|---|---|---|
| **Med återläggning** | $n^k$ | *(förekommer inte i kursen)* |
| **Utan återläggning** | $n(n-1)\cdots(n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ | $\dbinom{n}{k}$ |

Båda talen i vänsterkolumnen är multiplikationsprincipen direkt: med återläggning har varje val $n$ alternativ, utan återläggning ett färre för varje val. Specialfallet $k = n$ utan återläggning ger $n!$, antalet sätt att ordna $n$ saker.

> [!example]- Exempel — Kod till ett cykellås
> Ett cykellås har fyra ringar med siffrorna $0$–$9$.
>
> a) Hur många koder finns?
>
> b) Hur många koder har fyra olika siffror?
>
> c) Vi väljer en kod på måfå. Vad är sannolikheten att alla fyra siffror är olika?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Varje ring har $10$ lägen oberoende av de andra, och ordningen spelar roll ($1234$ är inte $4321$). Det är ordnat med återläggning:
> > $$
> > 10^4 = \boxed{10\,000}
> > $$
> >
> > **b)** Nu får en siffra som redan använts inte väljas igen: ordnat utan återläggning.
> > $$
> > 10\cdot9\cdot8\cdot7 = \boxed{5040}
> > $$
> >
> > **c)** Alla $10\,000$ koder är lika sannolika, så [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen|klassiska sannolikhetsdefinitionen]] ger
> > $$
> > P = \dfrac{5040}{10\,000} = \boxed{0{,}504}
> > $$
> > Nästan varannan kod har alltså en upprepad siffra — fler än man kanske gissar.
> >
> > **På räknaren.** `nPr(10,4)` ger `5040`.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **Blanda ihop kolumnerna.** Fråga dig om $\{A, B\}$ och $\{B, A\}$ är *samma* utfall. Är de det ska ordningen bort, annars inte.
> - **Räkna $m$ och $g$ på olika sätt.** Räknas de möjliga utfallen som ordnade måste de gynnsamma också räknas som ordnade, se [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]].
> - **Glömma att ett val påverkar nästa.** Utan återläggning minskar antalet alternativ för varje val, $n(n-1)\cdots$, inte $n\cdot n\cdots$.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 1, övning 2 — Tre schaktmaskiner
> En maskintyp har $50\ \%$ chans att fungera i minst sex månader utan att några delar behöver bytas. Vi köper tre maskiner. Vad är sannolikheten att
>
> a) alla tre,
>
> b) exakt två
>
> har fungerat utan delbyte efter sex månader?
>
> > [!note]- Lösning
> > Låt F = maskinen fungerar efter sex månader och O = den fungerar inte. Varje maskin ger F eller O, så enligt multiplikationsprincipen finns $m = 2\cdot2\cdot2 = 8$ utfall. Eftersom F och O är lika troliga är alla åtta lika sannolika.
> >
> > ![[traddiagram-tre-maskiner.png|420]]
> >
> > **a)** Bara utfallet FFF ger att alla tre fungerar: $g = 1$.
> > $$
> > P(\text{alla tre}) = \dfrac18 = \boxed{0{,}125}
> > $$
> >
> > **b)** Utfallen med exakt två F är FFO, FOF och OFF (markerade i trädet): $g = 3$.
> > $$
> > P(\text{exakt två}) = \dfrac38 = \boxed{0{,}375}
> > $$
> >
> > *Facit: a) 0,125, b) 0,375.*

---

## Se även

- [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]]
- [[Binomialkoefficient]]
- [[Utfallsrum och händelser]]

## Resurser

- [Khan Academy: Counting, permutations, and combinations](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/counting-permutations-and-combinations)
- [Wikipedia: Rule of product](https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_product)

---

← [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]] · [[S0008M]] · [[Binomialkoefficient]] →