Statistisk inferens

Kurs: S0008M Förkunskaper: Centrala gränsvärdessatsen

---

Statistisk inferens är att dra slutsatser om en okänd population utifrån ett stickprov. Eftersom stickprovet är slumpmässigt blir slutsatsen aldrig säker, utan måste följas av ett mått på osäkerheten — ett konfidensintervall eller en signifikansnivå.

---

1. Från sannolikhetslära till statistik

I sannolikhetsläran känner vi fördelningen och räknar ut hur sannolika olika utfall är. I statistiken är det tvärtom: vi har observerat utfallen och vill säga något om den okända fördelningen som gav dem.

	Känt	Okänt
Sannolikhetslära	fördelningen, till exempel $N(\mu ,\sigma )$ med givna $\mu$, $\sigma$	vad nästa observation blir
Statistisk inferens	observationerna $x_1,\dots ,x_n$	parametrarna $\mu$, $\sigma$, $p$, …

Sannolikhetsläran går åt höger i figuren: från en känd modell till vad stickprovet kan bli. Inferensen går tillbaka: från det observerade stickprovet till vad modellens parametrar kan vara.

---

2. Modell, stickprov och observationer

En inferensuppgift börjar alltid med en stokastisk modell:

• Mätvärdena $x_1,\dots ,x_n$ ses som observationer av stokastiska variabler ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$.
• Variablerna antas oberoende och likafördelade, med en fördelning som beror på en eller flera okända parametrar — typiskt ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$.

Samlingen ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ kallas ett stickprov, och $x_1,\dots ,x_n$ är det observerade stickprovet.

Skillnaden mellan ${\xi }_i$ och $x_i$

${\xi }_i$ är slumpmässig och har en fördelning; $x_i$ är ett tal. Alla resonemang om varför en metod fungerar görs med ${\xi }_i$ (till exempel att $\bar{\xi }\in N(\mu ,\sigma /\sqrt{n})$). När resonemanget är klart ersätter vi ${\xi }_i$ med de observerade $x_i$ och får ett tal eller ett intervall.

Ange modellantagandena först

Lektionsbladen och tentorna kräver att modellen skrivs ut innan något räknas: vad ${\xi }_i$ betyder, vilken fördelning den har, vilka parametrar som är okända och att observationerna är oberoende. Det är en del av lösningen, inte en formalitet.

---

3. Tre sätt att dra slutsatser

Metod	Svarar på	Ger
Punktskattning	Vilket värde har parametern ungefär?	ett tal, till exempel $\bar{x}$
Konfidensintervall	Inom vilka gränser ligger parametern, med given säkerhet?	ett intervall med konfidensgrad $1-\alpha$
Hypotesprövning	Kan ett påstående om parametern förkastas?	ett beslut med felrisk $\alpha$

Alla tre bygger på samma sak: fördelningen för en stickprovsvariabel, oftast medelvärdet $\bar{\xi }$. Den fås ur satserna om summor eller, när observationerna inte är normalfördelade, ur centrala gränsvärdessatsen.

Exempel — Påsfyllning: modell och punktskattning

En maskin fyller påsar. Vikten varierar slumpmässigt med standardavvikelsen $4$ g, känd sedan länge, men medelvikten kan ha drivit. Nio påsar vägs och medelvikten blir $\bar{x}=502,9$ g. Ställ upp en modell och skatta medelvikten med medelfel.

Lösning

Modell. ${\xi }_i$ = vikten hos påse $i$, ${\xi }_i\in N(\mu ,4)$ oberoende, $i=1,\dots ,9$. $\mu$ är okänd, $\sigma =4$ g känd.

Punktskattning. ${\mu }^{\ast }=\bar{\xi }\in N(\mu ,4/\sqrt{9})$, så

$${\mu }_{\text{obs}}^{\ast }=\boxed{502,9\text{ g}},D({\mu }^{\ast })=\frac{4}{\sqrt{9}}\approx \boxed{1,33\text{ g}}$$

Samma påsar används i Hypotesprövning, Signifikansnivå och styrka och Konfidensintervall och hypotesprövning, där frågan är om $\mu$ fortfarande är $500$ g.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• Hoppa över modellen. Utan en utskriven modell går det inte att avgöra om metoden är rätt, och på tentan ger det avdrag.
• Behandla $\bar{x}$ som $\mu$. $\bar{x}$ är en skattning med ett medelfel; $\mu$ är fortfarande okänd.
• Anta oberoende utan att tänka. Två mätningar på samma person är inte oberoende (se Stickprov i par).

---

Se även

• Punktskattning
• Konfidensintervall
• Teckenintervall
• Hypotesprövning
• Centrala gränsvärdessatsen

Resurser

• Khan Academy: Confidence intervals
• Wikipedia: Statistical inference

---

← Normalapproximation · S0008M · Punktskattning →