---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - grundbegrepp
förkunskaper:
  - "[[Centrala gränsvärdessatsen]]"
status: utkast
aliases:
  - Inferens
  - Statistisk slutledning
  - Stickprov
  - Population
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Centrala gränsvärdessatsen]]

---

Statistisk inferens är att dra slutsatser om en okänd population utifrån ett stickprov. Eftersom stickprovet är slumpmässigt blir slutsatsen aldrig säker, utan måste följas av ett mått på osäkerheten — ett konfidensintervall eller en signifikansnivå.

---

## 1. Från sannolikhetslära till statistik

I sannolikhetsläran känner vi fördelningen och räknar ut hur sannolika olika utfall är. I statistiken är det tvärtom: vi har **observerat** utfallen och vill säga något om den okända fördelningen som gav dem.

| | Känt | Okänt |
|---|---|---|
| **Sannolikhetslära** | fördelningen, till exempel $N(\mu,\sigma)$ med givna $\mu$, $\sigma$ | vad nästa observation blir |
| **Statistisk inferens** | observationerna $x_1,\dots,x_n$ | parametrarna $\mu$, $\sigma$, $p$, … |

![[statistisk-inferens-kedja.png|560]]

Sannolikhetsläran går åt höger i figuren: från en känd modell till vad stickprovet kan bli. Inferensen går tillbaka: från det observerade stickprovet till vad modellens parametrar kan vara.

---

## 2. Modell, stickprov och observationer

En inferensuppgift börjar alltid med en **stokastisk modell**:

- Mätvärdena $x_1,\dots,x_n$ ses som observationer av [[Stokastisk variabel|stokastiska variabler]] $\xi_1,\dots,\xi_n$.
- Variablerna antas **oberoende** och **likafördelade**, med en fördelning som beror på en eller flera okända **parametrar** — typiskt $\xi_i\in N(\mu,\sigma)$.

Samlingen $\xi_1,\dots,\xi_n$ kallas ett **stickprov**, och $x_1,\dots,x_n$ är det **observerade** stickprovet.

> [!important] Skillnaden mellan $\xi_i$ och $x_i$
> $\xi_i$ är slumpmässig och har en fördelning; $x_i$ är ett tal. Alla resonemang om *varför* en metod fungerar görs med $\xi_i$ (till exempel att $\bar\xi\in N(\mu,\sigma/\sqrt n)$). När resonemanget är klart ersätter vi $\xi_i$ med de observerade $x_i$ och får ett tal eller ett intervall.

> [!tip] Ange modellantagandena först
> Lektionsbladen och tentorna kräver att modellen skrivs ut innan något räknas: vad $\xi_i$ betyder, vilken fördelning den har, vilka parametrar som är okända och att observationerna är oberoende. Det är en del av lösningen, inte en formalitet.

---

## 3. Tre sätt att dra slutsatser

| Metod | Svarar på | Ger |
|---|---|---|
| [[Punktskattning]] | Vilket värde har parametern ungefär? | ett tal, till exempel $\bar x$ |
| [[Konfidensintervall]] | Inom vilka gränser ligger parametern, med given säkerhet? | ett intervall med konfidensgrad $1-\alpha$ |
| [[Hypotesprövning]] | Kan ett påstående om parametern förkastas? | ett beslut med felrisk $\alpha$ |

Alla tre bygger på samma sak: fördelningen för en stickprovsvariabel, oftast medelvärdet $\bar\xi$. Den fås ur [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler|satserna om summor]] eller, när observationerna inte är normalfördelade, ur centrala gränsvärdessatsen.

> [!example]- Exempel — Påsfyllning: modell och punktskattning
> En maskin fyller påsar. Vikten varierar slumpmässigt med standardavvikelsen $4$ g, känd sedan länge, men medelvikten kan ha drivit. Nio påsar vägs och medelvikten blir $\bar x = 502{,}9$ g. Ställ upp en modell och skatta medelvikten med medelfel.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Modell.** $\xi_i$ = vikten hos påse $i$, $\xi_i\in N(\mu,\ 4)$ oberoende, $i = 1,\dots,9$. $\mu$ är okänd, $\sigma = 4$ g känd.
> >
> > **Punktskattning.** $\mu^* = \bar\xi\in N(\mu,\ 4/\sqrt 9)$, så
> > $$
> > \mu^*_{\text{obs}} = \boxed{502{,}9 \text{ g}}, \qquad D(\mu^*) = \dfrac{4}{\sqrt 9} \approx \boxed{1{,}33 \text{ g}}
> > $$
> > Samma påsar används i [[Hypotesprövning]], [[Signifikansnivå och styrka]] och [[Konfidensintervall och hypotesprövning]], där frågan är om $\mu$ fortfarande är $500$ g.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **Hoppa över modellen.** Utan en utskriven modell går det inte att avgöra om metoden är rätt, och på tentan ger det avdrag.
> - **Behandla $\bar x$ som $\mu$.** $\bar x$ är en skattning med ett medelfel; $\mu$ är fortfarande okänd.
> - **Anta oberoende utan att tänka.** Två mätningar på samma person är inte oberoende (se [[Stickprov i par]]).

---

## Se även

- [[Punktskattning]]
- [[Konfidensintervall]]
- [[Teckenintervall]]
- [[Hypotesprövning]]
- [[Centrala gränsvärdessatsen]]

## Resurser

- [Khan Academy: Confidence intervals](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/confidence-intervals-one-sample)
- [Wikipedia: Statistical inference](https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_inference)


---

← [[Normalapproximation]] · [[S0008M]] · [[Punktskattning]] →