Signifikansnivå och styrka

Kurs: S0008M Förkunskaper: Hypotesprövning, Enkla hypoteser

---

Signifikansnivån är sannolikheten att förkasta en sann nollhypotes, och styrkan är sannolikheten att förkasta en falsk. Vi väljer signifikansnivån själva; styrkan styr vi med antalet observationer.

---

1. Definitionerna

$$\boxed{\alpha =P(\text{fo¨rkasta }{H}_0\mid H_0\text{ sann})}$$

$$\boxed{\text{styrkan}=P(\text{fo¨rkasta }{H}_0\mid H_1\text{ sann})}$$

Signifikansnivån är risken för fel av första slaget i hypotesprövningen. Styrkan är $1-\beta$, där $\beta$ är risken för fel av andra slaget. Ett bra test har litet $\alpha$ och stor styrka.

Är mothypotesen sammansatt, till exempel $\mu >{\mu }_0$, har styrkan ett värde för varje $\mu$ i mothypotesen. Då blir den en funktion, styrkefunktionen $S(\mu )$.

---

2. Vad påverkar styrkan

För testet “förkasta $H_0:\mu ={\mu }_0$ om $\bar{x}>k$” med $\bar{\xi }\in N(\mu ,\sigma /\sqrt{n})$ är styrkan i ett värde ${\mu }_1>{\mu }_0$

$$P(\bar{\xi }>k\mid \mu ={\mu }_1)=1-\Phi \left(\frac{k-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\right)$$

Ur formeln syns tre saker:

Ändring	Effekt på styrkan
Mindre $\alpha$ (större $k$)	minskar
Större avstånd ${\mu }_1-{\mu }_0$	ökar — stora avvikelser är lättare att upptäcka
Större $n$	ökar — $\sigma /\sqrt{n}$ krymper

Figuren gäller påsfyllningen i Hypotesprövning (${\mu }_0=500$, $\sigma =4$, $\alpha =0,05$) och visar styrkan i ${\mu }_1=503$. Med $n=9$ upptäcks en avvikelse på $3$ g bara i knappt tre fall av fyra; med $n=20$ i minst $95\%$ av fallen.

---

3. Att bestämma $n$

Kräver vi både en viss signifikansnivå $\alpha$ och minst styrkan $1-\beta$ i ett visst ${\mu }_1$ får vi två villkor på $k$:

$$k={\mu }_0+{\lambda }_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}},k={\mu }_1-{\lambda }_{\beta }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Sätter vi dem lika och löser ut $n$:

$$\boxed{n={\left(\frac{({\lambda }_{\alpha }+{\lambda }_{\beta })\sigma }{{\mu }_1-{\mu }_0}\right)}^2}$$

Avrunda uppåt och bestäm $k$ efteråt

$n$ blir sällan ett heltal. Avrunda till närmast högre heltal, så att styrkan blir minst den krävda, och bestäm sedan $k$ ur signifikansvillkoret med det nya $n$, så att signifikansnivån blir exakt rätt.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 15, övning 4 (Vännman 9.6) — Livslängd hos däck

Livslängden hos däck antas vara ${\xi }_i\in N(\mu ,900)$, oberoende, $i=1,\dots ,n$. Vi vill pröva $H_0:\mu =5400$ mot $H_1:\mu >5400$ med testet “förkasta $H_0$ om $\bar{x}>k$“. Bestäm $n$ och $k$ så att signifikansnivån blir $0,01$ och styrkan minst $0,95$ om $\mu =6300$.

Lösning

Fördelning. $\bar{\xi }\in N(\mu ,900/\sqrt{n})$.

Signifikansnivån. ${\lambda }_{0,01}\approx 2,3263$:

$$0,01=P(\bar{\xi }>k\mid \mu =5400)⟹k=5400+2,3263\cdot \frac{900}{\sqrt{n}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

Styrkan i $\mu =6300$. ${\lambda }_{0,05}\approx 1,6449$:

$$0,95=P(\bar{\xi }>k\mid \mu =6300)⟹k=6300-1,6449\cdot \frac{900}{\sqrt{n}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

Lös ut $n$. (1) = (2) ger

$$\frac{(2,3263+1,6449)\cdot 900}{\sqrt{n}}=900⟹n=3,9712^2\approx 15,77$$

Med $n=15$ blir styrkan $\approx 0,939$, för lite. Med $\boxed{n=16}$ blir den $\approx 0,953$. Villkor (1) ger sedan

$$k=5400+2,3263\cdot \frac{900}{\sqrt{16}}\approx \boxed{5923,4}$$

På räknaren. ${\lambda }_{0,01}$ = invNorm(0.99), ${\lambda }_{0,05}$ = invNorm(0.95). Styrkan för $n=16$: normCdf(5923.4,∞,6300,900/4) ≈ 0.953.

Uppgiften (Vännman 9.6) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($n=16$, $k\approx 5923,42$), och svaret stämmer med det.

Exempel — Styrka och antal påsar

Påsfyllningen: $H_0:\mu =500$ mot $H_1:\mu >500$, $\sigma =4$ känd, $\alpha =0,05$.

a) Beräkna styrkan i $\mu =503$ med $n=9$.

b) Hur många påsar behövs för att styrkan i $\mu =503$ ska bli minst $0,95$?

Lösning

a) Med $n=9$ är $k\approx 502,19$ (se Hypotesprövning), och

$$P(\bar{\xi }>502,193\mid \mu =503)=1-\Phi \left(\frac{502,193-503}{4/3}\right)=\Phi (0,605)\approx \boxed{0,727}$$

b) ${\lambda }_{0,05}=1,6449$ för både $\alpha$ och $\beta =0,05$:

$$n={\left(\frac{(1,6449+1,6449)\cdot 4}{503-500}\right)}^2\approx 19,24\Rightarrow \boxed{n=20}$$

På räknaren. a) 1-normCdf(-∞,502.19,503,4/3).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• $\beta$ är inte $1-\alpha$. $\alpha$ och $\beta$ räknas under olika hypoteser och summerar inte till $1$.
• Styrka i ${\mu }_0$. Där är “styrkan” $\alpha$, inte något stort tal.
• Avrunda $n$ nedåt. $19,24$ ger $n=20$; med $19$ når styrkan inte kravet.

---

Se även

• Hypotesprövning
• Enkla hypoteser
• Styrkefunktion
• Sammansatta hypoteser

Resurser

• Wikipedia: Power of a test
• Wikipedia: Statistical significance

---

← Enkla hypoteser · S0008M · Sammansatta hypoteser →