Enkla hypoteser

Kurs: S0008M Förkunskaper: Hypotesprövning

---

En enkel hypotes anger ett enda bestämt värde på parametern. Eftersom både noll- och mothypotes då är fullständigt specificerade kan vi beräkna både risken att felaktigt förkasta och risken att felaktigt behålla nollhypotesen.

---

1. Situationen

Låt ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ vara oberoende och $\in N(\mu ,\sigma )$ med känt $\sigma$. Vi prövar

$$H_0:\mu ={\mu }_0\text{mot}{H}_1:\mu ={\mu }_1,{\mu }_1>{\mu }_0$$

Båda hypoteserna innehåller bara ett värde, så båda är enkla. Situationen är inte särskilt realistisk — sällan finns bara två möjliga värden — men den visar hela maskineriet i hypotesprövningen utan komplikationer.

---

2. Testet

Stora värden på $\bar{x}$ talar för $H_1$, så testet blir: förkasta $H_0$ om $\bar{x}>k$. Under $H_0$ är $\bar{\xi }\in N({\mu }_0,\sigma /\sqrt{n})$, och signifikansnivån $\alpha$ ger

$$\alpha =P(\bar{\xi }>k\mid \mu ={\mu }_0)=P\left(\frac{\bar{\xi }-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}>\frac{k-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\right)⟹\boxed{k={\mu }_0+{\lambda }_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$$

där ${\lambda }_{\alpha }$ är kvantilen i $N(0,1)$ med $P(\eta >{\lambda }_{\alpha })=\alpha$, på räknaren invNorm(1-α).

---

3. Båda felriskerna

Med en enkel mothypotes kan vi också räkna ut sannolikheten att inte förkasta $H_0$ fast $H_1$ gäller, felet av andra slaget:

$$\beta =P(\bar{\xi }\le k\mid \mu ={\mu }_1)=\Phi \left(\frac{k-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\right)$$

Styrkan är $1-\beta$. På räknaren är $\beta$ = normCdf(-∞,k,μ1,σ/√(n)) — bocka i Draw så ritas arean.

Figuren visar fördelningen för $\bar{\xi }$ under respektive hypotes i övning 4 nedan (${\mu }_0=100$, ${\mu }_1=110$, $\sigma /\sqrt{n}=3$), med $\alpha$ till höger om $k$ under $H_0$ och $\beta$ till vänster om $k$ under $H_1$:

Avvägningen

Flyttar vi $k$ åt höger minskar $\alpha$ men $\beta$ ökar, och tvärtom. Det enda sättet att minska båda är att öka $n$: då krymper $\sigma /\sqrt{n}$, kurvorna blir smalare och överlappar mindre. Se Signifikansnivå och styrka.

Vanliga fel

• Blanda ihop ${\lambda }_{\alpha }$ och ${\lambda }_{\beta }$. $k$ ligger ${\lambda }_{\alpha }$ medelfel från ${\mu }_0$ och ${\lambda }_{\beta }$ medelfel från ${\mu }_1$.
• Tro att $\alpha +\beta =1$. Båda kan göras små samtidigt, men bara genom större $n$.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 14, övning 4 (Vännman 9.3) — Hur många observationer?

Observationerna är oberoende och $\in N(\mu ,15)$. Vi prövar $H_0:\mu =100$ mot $H_1:\mu =110$ med testet “förkasta $H_0$ om $\bar{x}>k$”.

a) Bestäm antalet observationer $n$ och den kritiska gränsen $k$ så att testet får signifikansnivån $5\%$ och styrkan minst $95\%$.

b) Hur blir det nya testet?

Lösning

Fördelning. $\bar{\xi }\in N(\mu ,15/\sqrt{n})$. Den kritiska gränsen beror av $n$, så vi får två villkor på de två obekanta.

Villkor 1, signifikansnivån.

$$0,05=P(\bar{\xi }>k\mid \mu =100)⟹\frac{k-100}{15/\sqrt{n}}={\lambda }_{0,05}\approx 1,6449⟹k=100+1,6449\cdot \frac{15}{\sqrt{n}}$$

Villkor 2, styrkan.

$$0,95=P(\bar{\xi }>k\mid \mu =110)⟹\frac{110-k}{15/\sqrt{n}}={\lambda }_{0,05}⟹k=110-1,6449\cdot \frac{15}{\sqrt{n}}$$

Lös ut $n$. Sätt uttrycken lika:

$$2\cdot 1,6449\cdot \frac{15}{\sqrt{n}}=10⟹n=(3\cdot 1,6449{)}^2\approx 24,35$$

$n$ måste vara ett heltal. Med $n=24$ och $k$ från villkor 1 blir styrkan $\approx 0,948<0,95$; med $n=25$ blir den $\approx 0,954$. Alltså $\boxed{n=25}$, och villkor 1 ger

$$k=100+1,6449\cdot \frac{15}{5}\approx \boxed{104,93}$$

b) Det nya testet: förkasta $H_0$ om $\bar{x}>104,93$, baserat på 25 observationer. Det är testet i figuren i avsnitt 3.

På räknaren. ${\lambda }_{0,05}$ = invNorm(0.95). Styrkorna för $n=24$ och $n=25$ kontrolleras med normCdf(k,∞,110,15/√(n)), där k är gränsen för respektive $n$.

Uppgiften (Vännman 9.3) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($n=25$, $k\approx 104,93$), och svaret stämmer med det.

---

Se även

• Hypotesprövning
• Signifikansnivå och styrka
• Sammansatta hypoteser
• Normalfördelning

Resurser

• Wikipedia: Type I and type II errors

---

← Hypotesprövning · S0008M · Signifikansnivå och styrka →