---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - metod
förkunskaper:
  - "[[Hypotesprövning]]"
status: utkast
aliases:
  - Enkel hypotes
  - Enkel mothypotes
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Hypotesprövning]]

---

En enkel hypotes anger ett enda bestämt värde på parametern. Eftersom både noll- och mothypotes då är fullständigt specificerade kan vi beräkna både risken att felaktigt förkasta och risken att felaktigt behålla nollhypotesen.

---

## 1. Situationen

Låt $\xi_1,\dots,\xi_n$ vara oberoende och $\in N(\mu,\sigma)$ med känt $\sigma$. Vi prövar

$$
H_0:\ \mu = \mu_0 \qquad\text{mot}\qquad H_1:\ \mu = \mu_1, \qquad \mu_1 > \mu_0
$$

Båda hypoteserna innehåller bara ett värde, så båda är **enkla**. Situationen är inte särskilt realistisk — sällan finns bara två möjliga värden — men den visar hela maskineriet i [[Hypotesprövning|hypotesprövningen]] utan komplikationer.

---

## 2. Testet

Stora värden på $\bar x$ talar för $H_1$, så testet blir: förkasta $H_0$ om $\bar x > k$. Under $H_0$ är $\bar\xi \in N(\mu_0,\ \sigma/\sqrt n)$, och signifikansnivån $\alpha$ ger

$$
\alpha = P(\bar\xi > k \mid \mu = \mu_0) = P\!\left(\dfrac{\bar\xi - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} > \dfrac{k - \mu_0}{\sigma/\sqrt n}\right)
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{k = \mu_0 + \lambda_\alpha\dfrac{\sigma}{\sqrt n}}
$$

där $\lambda_\alpha$ är kvantilen i $N(0,1)$ med $P(\eta > \lambda_\alpha) = \alpha$, på räknaren `invNorm(1-α)`.

---

## 3. Båda felriskerna

Med en enkel mothypotes kan vi också räkna ut sannolikheten att **inte** förkasta $H_0$ fast $H_1$ gäller, felet av andra slaget:

$$
\beta = P(\bar\xi \le k \mid \mu = \mu_1) = \Phi\!\left(\dfrac{k - \mu_1}{\sigma/\sqrt n}\right)
$$

Styrkan är $1 - \beta$. På räknaren är $\beta$ = `normCdf(-∞,k,μ1,σ/√(n))` — bocka i **Draw** så ritas arean.

Figuren visar fördelningen för $\bar\xi$ under respektive hypotes i övning 4 nedan ($\mu_0 = 100$, $\mu_1 = 110$, $\sigma/\sqrt n = 3$), med $\alpha$ till höger om $k$ under $H_0$ och $\beta$ till vänster om $k$ under $H_1$:

![[lek14-enkla-hypoteser.png|560]]

> [!important] Avvägningen
> Flyttar vi $k$ åt höger minskar $\alpha$ men $\beta$ ökar, och tvärtom. Det enda sättet att minska **båda** är att öka $n$: då krymper $\sigma/\sqrt n$, kurvorna blir smalare och överlappar mindre. Se [[Signifikansnivå och styrka]].

> [!warning] Vanliga fel
> - **Blanda ihop $\lambda_\alpha$ och $\lambda_\beta$.** $k$ ligger $\lambda_\alpha$ medelfel från $\mu_0$ och $\lambda_\beta$ medelfel från $\mu_1$.
> - **Tro att $\alpha + \beta = 1$.** Båda kan göras små samtidigt, men bara genom större $n$.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 14, övning 4 (Vännman 9.3) — Hur många observationer?
> Observationerna är oberoende och $\in N(\mu,\ 15)$. Vi prövar $H_0:\ \mu = 100$ mot $H_1:\ \mu = 110$ med testet "förkasta $H_0$ om $\bar x > k$".
>
> a) Bestäm antalet observationer $n$ och den kritiska gränsen $k$ så att testet får signifikansnivån $5\ \%$ och styrkan minst $95\ \%$.
>
> b) Hur blir det nya testet?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Fördelning.** $\bar\xi \in N(\mu,\ 15/\sqrt n)$. Den kritiska gränsen beror av $n$, så vi får två villkor på de två obekanta.
> >
> > **Villkor 1, signifikansnivån.**
> > $$
> > 0{,}05 = P(\bar\xi > k \mid \mu = 100) \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{k - 100}{15/\sqrt n} = \lambda_{0{,}05} \approx 1{,}6449 \quad\Longrightarrow\quad k = 100 + 1{,}6449\cdot\dfrac{15}{\sqrt n}
> > $$
> >
> > **Villkor 2, styrkan.**
> > $$
> > 0{,}95 = P(\bar\xi > k \mid \mu = 110) \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{110 - k}{15/\sqrt n} = \lambda_{0{,}05} \quad\Longrightarrow\quad k = 110 - 1{,}6449\cdot\dfrac{15}{\sqrt n}
> > $$
> >
> > **Lös ut $n$.** Sätt uttrycken lika:
> > $$
> > 2\cdot1{,}6449\cdot\dfrac{15}{\sqrt n} = 10 \quad\Longrightarrow\quad n = (3\cdot1{,}6449)^2 \approx 24{,}35
> > $$
> > $n$ måste vara ett heltal. Med $n = 24$ och $k$ från villkor 1 blir styrkan $\approx 0{,}948 < 0{,}95$; med $n = 25$ blir den $\approx 0{,}954$. Alltså $\boxed{n = 25}$, och villkor 1 ger
> > $$
> > k = 100 + 1{,}6449\cdot\dfrac{15}{5} \approx \boxed{104{,}93}
> > $$
> >
> > **b)** Det nya testet: förkasta $H_0$ om $\bar x > 104{,}93$, baserat på 25 observationer. Det är testet i figuren i avsnitt 3.
> >
> > **På räknaren.** $\lambda_{0{,}05}$ = `invNorm(0.95)`. Styrkorna för $n = 24$ och $n = 25$ kontrolleras med `normCdf(k,∞,110,15/√(n))`, där `k` är gränsen för respektive $n$.
> >
> > *Uppgiften (Vännman 9.3) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($n = 25$, $k \approx 104{,}93$), och svaret stämmer med det.*

---

## Se även

- [[Hypotesprövning]]
- [[Signifikansnivå och styrka]]
- [[Sammansatta hypoteser]]
- [[Normalfördelning]]

## Resurser

- [Wikipedia: Type I and type II errors](https://en.wikipedia.org/wiki/Type_I_and_type_II_errors)

---

← [[Hypotesprövning]] · [[S0008M]] · [[Signifikansnivå och styrka]] →