Styrkefunktion

Kurs: S0008M Förkunskaper: Sammansatta hypoteser, Signifikansnivå och styrka

---

Styrkefunktionen $S(\mu )$ anger sannolikheten att ett test förkastar nollhypotesen, som funktion av det sanna värdet $\mu$. I nollhypotesens värde är den lika med signifikansnivån, och den växer mot $1$ ju längre in i mothypotesen $\mu$ ligger.

---

1. Definitionen

För ett test av $H_0:\mu ={\mu }_0$ är styrkefunktionen

$$\boxed{S(\mu )=P(\text{fo¨rkasta }{H}_0\mid \mu )}$$

Den är definierad för alla $\mu$. I $\mu ={\mu }_0$ är $S({\mu }_0)=\alpha$, signifikansnivån. För $\mu$ i mothypotesen är $S(\mu )$ testets styrka i just det värdet.

---

2. Styrkefunktionen för ett ensidigt test

För testet “förkasta $H_0$ om $\bar{x}<k$” med $\bar{\xi }\in N(\mu ,\sigma /\sqrt{n})$ är

$$S(\mu )=P(\bar{\xi }<k\mid \mu )=\Phi \left(\frac{k-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right)$$

Den är avtagande i $\mu$: ju lägre det sanna väntevärdet ligger, desto troligare är det att $\bar{x}$ hamnar under $k$. För testet “förkasta om $\bar{x}>k$” blir $S(\mu )=1-\Phi ((k-\mu )/(\sigma /\sqrt{n}))$, som är växande.

Formen på kurvan

Styrkefunktionen för ett ensidigt test är en S-formad kurva som går från nära $0$ på nollhypotesens sida, genom $\alpha$ i ${\mu }_0$, till nära $1$ långt in i mothypotesen. Med större $n$ blir övergången brantare: testet skiljer bättre mellan värden nära ${\mu }_0$.

Vanliga fel

• Räkna under $H_0$. Styrkan i $\mu$ räknas med det $\mu$, inte med ${\mu }_0$; bara $k$ kommer från $H_0$.
• Fel riktning. För “förkasta om $\bar{x}<k$” är $S(\mu )=\Phi (\cdot )$, för “förkasta om $\bar{x}>k$” är det $1-\Phi (\cdot )$.

---

3. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 15, övning 2 och 3 — Styrkan i Coca-Colatestet

I testet för Coca-Colaburkarna i Sammansatta hypoteser är ${\xi }_i\in N(\mu ,1,72)$, $n=10$, och vi förkastar $H_0:\mu =330$ till förmån för $H_1:\mu <330$ om $\bar{x}<329,1$.

Övning 2. Anta att påfyllnadsmekanismen har börjat fylla för lite, så att $\mu =328$. Vad är sannolikheten att testet upptäcker att $H_0$ är falsk? Beräkna alltså styrkan i $\mu =328$.

Övning 3. Skissa styrkefunktionen för testet.

Lösning

Övning 2. Med $\mu =328$ är $\bar{\xi }\in N(328,1,72/\sqrt{10})=N(328,0,544)$:

$$S(328)=P(\bar{\xi }<329,1\mid \mu =328)=\Phi \left(\frac{329,1-328}{0,544}\right)=\Phi (2,02)\approx \boxed{0,978}$$

Testet upptäcker alltså en minskning till 328 ml med sannolikheten $97,8\%$.

På räknaren. normCdf(-∞,329.1,328,1.72/√(10)) ≈ 0.978.

Övning 3. Vi vet två punkter: $S(330)=\alpha =0,05$ och $S(328)\approx 0,978$. Kurvan är avtagande i $\mu$, går mot $1$ när $\mu$ minskar och mot $0$ när $\mu$ ökar. Den passerar $0,5$ precis i $\mu =k=329,1$, där $\bar{x}$ lika gärna hamnar över som under gränsen:

På räknaren (hela kurvan). Definiera s(m):=normCdf(-∞,329.1,m,1.72/√(10)) i en Calculator-sida och rita s(x) i Graphs med fönstret $326\le x\le 331$.

Facit: $S(328)=0,978$, det vill säga styrkan är $97,8\%$.

---

Se även

• Signifikansnivå och styrka
• Sammansatta hypoteser
• Enkla hypoteser
• Normalfördelning

Resurser

• Wikipedia: Power of a test

---

← Sammansatta hypoteser · S0008M · Direktmetoden →