---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - begrepp
förkunskaper:
  - "[[Sammansatta hypoteser]]"
  - "[[Signifikansnivå och styrka]]"
status: utkast
aliases:
  - Styrkefunktionen
  - S(μ)
  - Power function
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Sammansatta hypoteser]], [[Signifikansnivå och styrka]]

---

Styrkefunktionen $S(\mu)$ anger sannolikheten att ett test förkastar nollhypotesen, som funktion av det sanna värdet $\mu$. I nollhypotesens värde är den lika med signifikansnivån, och den växer mot $1$ ju längre in i mothypotesen $\mu$ ligger.

---

## 1. Definitionen

För ett test av $H_0:\ \mu = \mu_0$ är **styrkefunktionen**

$$
\boxed{S(\mu) = P(\text{förkasta } H_0 \mid \mu)}
$$

Den är definierad för alla $\mu$. I $\mu = \mu_0$ är $S(\mu_0) = \alpha$, [[Signifikansnivå och styrka|signifikansnivån]]. För $\mu$ i mothypotesen är $S(\mu)$ testets styrka i just det värdet.

---

## 2. Styrkefunktionen för ett ensidigt test

För testet "förkasta $H_0$ om $\bar x < k$" med $\bar\xi \in N(\mu,\ \sigma/\sqrt n)$ är

$$
S(\mu) = P(\bar\xi < k \mid \mu) = \Phi\!\left(\dfrac{k - \mu}{\sigma/\sqrt n}\right)
$$

Den är avtagande i $\mu$: ju lägre det sanna väntevärdet ligger, desto troligare är det att $\bar x$ hamnar under $k$. För testet "förkasta om $\bar x > k$" blir $S(\mu) = 1 - \Phi\big((k-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\big)$, som är växande.

> [!tip] Formen på kurvan
> Styrkefunktionen för ett ensidigt test är en S-formad kurva som går från nära $0$ på nollhypotesens sida, genom $\alpha$ i $\mu_0$, till nära $1$ långt in i mothypotesen. Med större $n$ blir övergången brantare: testet skiljer bättre mellan värden nära $\mu_0$.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Räkna under $H_0$.** Styrkan i $\mu$ räknas med det $\mu$, inte med $\mu_0$; bara $k$ kommer från $H_0$.
> - **Fel riktning.** För "förkasta om $\bar x < k$" är $S(\mu) = \Phi(\cdot)$, för "förkasta om $\bar x > k$" är det $1 - \Phi(\cdot)$.

---

## 3. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 15, övning 2 och 3 — Styrkan i Coca-Colatestet
> I testet för Coca-Colaburkarna i [[Sammansatta hypoteser]] är $\xi_i \in N(\mu,\ 1{,}72)$, $n = 10$, och vi förkastar $H_0:\ \mu = 330$ till förmån för $H_1:\ \mu < 330$ om $\bar x < 329{,}1$.
>
> **Övning 2.** Anta att påfyllnadsmekanismen har börjat fylla för lite, så att $\mu = 328$. Vad är sannolikheten att testet upptäcker att $H_0$ är falsk? Beräkna alltså styrkan i $\mu = 328$.
>
> **Övning 3.** Skissa styrkefunktionen för testet.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Övning 2.** Med $\mu = 328$ är $\bar\xi \in N(328,\ 1{,}72/\sqrt{10}) = N(328,\ 0{,}544)$:
> > $$
> > S(328) = P(\bar\xi < 329{,}1 \mid \mu = 328) = \Phi\!\left(\dfrac{329{,}1 - 328}{0{,}544}\right) = \Phi(2{,}02) \approx \boxed{0{,}978}
> > $$
> > Testet upptäcker alltså en minskning till 328 ml med sannolikheten $97{,}8\ \%$.
> >
> > **På räknaren.** `normCdf(-∞,329.1,328,1.72/√(10))` ≈ `0.978`.
> >
> > **Övning 3.** Vi vet två punkter: $S(330) = \alpha = 0{,}05$ och $S(328) \approx 0{,}978$. Kurvan är avtagande i $\mu$, går mot $1$ när $\mu$ minskar och mot $0$ när $\mu$ ökar. Den passerar $0{,}5$ precis i $\mu = k = 329{,}1$, där $\bar x$ lika gärna hamnar över som under gränsen:
> >
> > ![[lek15-styrkefunktion.png|500]]
> >
> > **På räknaren (hela kurvan).** Definiera `s(m):=normCdf(-∞,329.1,m,1.72/√(10))` i en Calculator-sida och rita `s(x)` i **Graphs** med fönstret $326 \le x \le 331$.
> >
> > *Facit: $S(328) = 0{,}978$, det vill säga styrkan är $97{,}8\ \%$.*

---

## Se även

- [[Signifikansnivå och styrka]]
- [[Sammansatta hypoteser]]
- [[Enkla hypoteser]]
- [[Normalfördelning]]

## Resurser

- [Wikipedia: Power of a test](https://en.wikipedia.org/wiki/Power_of_a_test)

---

← [[Sammansatta hypoteser]] · [[S0008M]] · [[Direktmetoden]] →