Direktmetoden

Kurs: S0008M Förkunskaper: Sammansatta hypoteser

---

Direktmetoden innebär att vi beräknar $p$-värdet — sannolikheten att få ett minst lika extremt utfall som det observerade om nollhypotesen är sann — och jämför det direkt med signifikansnivån. I stället för en kritisk gräns får vi då ett mått på hur starkt data talar emot nollhypotesen.

---

1. ${\alpha }_0$-värdet

I stället för att först räkna ut den kritiska gränsen $k$ och jämföra testvariabeln med den, räknar vi direkt ut

$$\boxed{{\alpha }_0=P(\text{testvariabeln blir lika extrem eller extremare a¨n det observerade}\mid H_0\text{ sann})}$$

“Extrem” betyder i mothypotesens riktning. Med $H_1:\mu <{\mu }_0$ och observerat $\bar{x}$ är ${\alpha }_0=P(\bar{\xi }\le \bar{x}\mid \mu ={\mu }_0)$.

Vännman kallar talet ${\alpha }_0$. Miniräknare och datorprogram kallar det $p$-värdet; på TI-Nspire heter raden PVal i resultatet från z Test, t Test och de andra testen under menu → Statistics → Stat Tests.

---

2. Beslutsregeln

$$\text{fo¨rkasta }{H}_0\text{ om }{\alpha }_0<\alpha$$

Det ger samma beslut som testet med kritisk gräns: ${\alpha }_0<\alpha$ betyder precis att det observerade värdet ligger i det kritiska området.

Figuren visar Coca-Colatestet i uppgift A nedan. Arean till vänster om $k$ är $\alpha =0,05$. Arean till vänster om det observerade $\bar{x}$ är ${\alpha }_0\approx 0,003$ — så liten att den knappt syns. Att $\bar{x}$ ligger till vänster om $k$ är samma sak som att ${\alpha }_0<\alpha$.

Tvåsidiga test

Med $H_1:\mu \ne {\mu }_0$ fördelas $\alpha$ på båda svansarna. Räknar vi ${\alpha }_0$ som sannolikheten i en svans ska den jämföras med $\alpha /2$. Miniräknarens $p$-värde för ett tvåsidigt test är redan dubblerat och jämförs med $\alpha$.

Vad direktmetoden inte ger

Direktmetoden räcker när vi bara vill veta om $H_0$ kan förkastas. Vill vi räkna ut testets styrka behöver vi den kritiska gränsen $k$.

${\alpha }_0$ säger också hur marginellt beslutet är: ${\alpha }_0=0,049$ och ${\alpha }_0=0,0001$ ger båda förkastning på $5\%$-nivån, men det senare är ett mycket starkare belägg mot $H_0$.

Vanliga fel

• Svansen åt fel håll. ${\alpha }_0$ räknas i mothypotesens riktning: för $H_1:\mu <{\mu }_0$ är det $P(\bar{\xi }\le \bar{x}\mid H_0)$.
• Tolka ${\alpha }_0$ som $P(H_0\text{ sann})$. Det är sannolikheten för ett minst lika extremt utfall om $H_0$ är sann.

---

3. Lösta lektionsuppgifter

Inför lektion 16, uppgift A — Coca-Colatestet med direktmetoden

Använd direktmetoden på Coca-Colatestet i Sammansatta hypoteser: ${\xi }_i\in N(\mu ,1,72)$, $n=10$, $H_0:\mu =330$ mot $H_1:\mu <330$ på $5\%$ signifikansnivå, och det observerade medelvärdet är $\bar{x}=328,5$. Beräkna sannolikheten att få ett lika extremt eller extremare värde, $P(\bar{\xi }\le 328,5)$, givet att $H_0$ är sann, och jämför med signifikansnivån.

Lösning

Under $H_0$ är $\bar{\xi }\in N(330,0,544)$, och “extremare” betyder mindre, eftersom $H_1$ säger $\mu <330$:

$${\alpha }_0=P(\bar{\xi }\le 328,5\mid \mu =330)=\Phi \left(\frac{328,5-330}{0,544}\right)=\Phi (-2,76)\approx \boxed{0,003}$$

${\alpha }_0\approx 0,003<0,05$, så $H_0$ förkastas — samma slutsats som med den kritiska gränsen $329,1$. Figuren i avsnitt 2 visar just den här situationen.

På räknaren. normCdf(-∞,328.5,330,1.72/√(10)) ≈ 0.0029, eller PVal i z Test (se Sammansatta hypoteser).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens. Slutsatsen stämmer också med facit till lektion 15, övning 1 d).

Lektion 16, övning 3 (Vännman 9.22) — Nio lyckade av elva

Ett försök upprepas 11 gånger oberoende av varandra, med sannolikheten $p$ att lyckas varje gång. Utfallet blev 9 lyckade försök. Använd direktmetoden för att pröva $H_0:p=0,5$ på $5\%$ signifikansnivå mot

a) $H_1:p>0,5$,

b) $H_1:p\ne 0,5$.

Lösning

Modell. $\xi$ = antal lyckade försök, $\xi \in \text{Bin}(11,p)$. Under $H_0$ är $\xi \in \text{Bin}(11,0,5)$.

${\alpha }_0$. Nio lyckade ligger klart i den högra svansen. Sannolikheten för lika extremt eller extremare utfall:

$${\alpha }_0=P(\xi \ge 9\mid p=0,5)=1-P(\xi \le 8\mid p=0,5)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{9}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{10}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{11}\right)}{2^{11}}=\frac{67}{2048}\approx 0,0327$$

a) Ensidig mothypotes: jämför med $\alpha =0,05$. Eftersom $0,0327<0,05$ $\boxed{\text{fo¨rkastas }{H}_0}$.

b) Tvåsidig mothypotes: signifikansnivån fördelas på båda svansarna, så enkelsvanssannolikheten jämförs med $\alpha /2=0,025$. Eftersom $0,0327>0,025$ $\boxed{\text{kan }{H}_0\text{ inte fo¨rkastas}}$.

Samma data ger alltså olika slutsats beroende på mothypotesen. Därför måste hypoteserna bestämmas innan vi tittar på data.

På räknaren. binomCdf(11,0.5,9,11) ≈ 0.0327.

Uppgiften (Vännman 9.22) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget (${\alpha }_0\approx 0,0327$), och slutsatserna stämmer med det.

Lektion 16, övning 4 (Vännman 9.23) — Defekta brickor

Sannolikheten att en bricka är defekt ska vara $0,01$. I en sändning om 300 brickor hittades 8 defekta. Pröva med direktmetoden $H_0:p=0,01$ mot $H_1:p>0,01$ på $2\%$ signifikansnivå.

Lösning

Modell. $\eta$ = antal defekta brickor bland 300, $\eta \in \text{Bin}(300,p)$. Under $H_0$ är $p=0,01\le 0,1$ och $n\ge 10$, så approximativt $\eta \in \text{Po}(300\cdot 0,01)=\text{Po}(3)$.

${\alpha }_0$. Stora värden talar för $H_1$:

$${\alpha }_0=P(\eta \ge 8\mid p=0,01)=1-P(\eta \le 7)\approx 1-0,9881=\boxed{0,0119}$$

(Exakt binomialsannolikhet: $0,0115$.)

Slutsats. ${\alpha }_0\approx 0,012<0,02$, så $H_0$ förkastas på $2\%$ signifikansnivå: andelen defekta är större än $0,01$.

På räknaren. 1-poissCdf(3,0,7) ≈ 0.0119. Den exakta binomialsannolikheten: binomCdf(300,0.01,8,300) ≈ 0.0115.

Uppgiften (Vännman 9.23) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget (${\alpha }_0\approx 0,0119<0,02$), och svaret stämmer med det.

---

Se även

• Hypotesprövning
• Sammansatta hypoteser
• Styrkefunktion
• Binomialfördelning
• Poissonfördelning

Resurser

• Khan Academy: P-values and significance tests
• Wikipedia: p-värde

---

← Styrkefunktion · S0008M · Konfidensintervall och hypotesprövning →