--- kurs: - S0008M tags: - matematik - statistik - metod förkunskaper: - "[[Sammansatta hypoteser]]" status: utkast aliases: - P-värde - Direktmetod - α0-värde --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Sammansatta hypoteser]] --- Direktmetoden innebär att vi beräknar $p$-värdet — sannolikheten att få ett minst lika extremt utfall som det observerade om nollhypotesen är sann — och jämför det direkt med signifikansnivån. I stället för en kritisk gräns får vi då ett mått på hur starkt data talar emot nollhypotesen. --- ## 1. $\alpha_0$-värdet I stället för att först räkna ut den kritiska gränsen $k$ och jämföra testvariabeln med den, räknar vi direkt ut $$ \boxed{\alpha_0 = P(\text{testvariabeln blir lika extrem eller extremare än det observerade} \mid H_0 \text{ sann})} $$ "Extrem" betyder i mothypotesens riktning. Med $H_1:\ \mu < \mu_0$ och observerat $\bar x$ är $\alpha_0 = P(\bar\xi \le \bar x \mid \mu = \mu_0)$. Vännman kallar talet $\alpha_0$. Miniräknare och datorprogram kallar det **$p$-värdet**; på TI-Nspire heter raden `PVal` i resultatet från z Test, t Test och de andra testen under `menu` → **Statistics** → **Stat Tests**. --- ## 2. Beslutsregeln $$ \text{förkasta } H_0 \text{ om } \alpha_0 < \alpha $$ Det ger samma beslut som testet med kritisk gräns: $\alpha_0 < \alpha$ betyder precis att det observerade värdet ligger i det kritiska området. ![[lek16-direktmetoden.png|520]] Figuren visar Coca-Colatestet i uppgift A nedan. Arean till vänster om $k$ är $\alpha = 0{,}05$. Arean till vänster om det observerade $\bar x$ är $\alpha_0 \approx 0{,}003$ — så liten att den knappt syns. Att $\bar x$ ligger till vänster om $k$ är samma sak som att $\alpha_0 < \alpha$. > [!warning] Tvåsidiga test > Med $H_1:\ \mu \ne \mu_0$ fördelas $\alpha$ på båda svansarna. Räknar vi $\alpha_0$ som sannolikheten i **en** svans ska den jämföras med $\alpha/2$. Miniräknarens $p$-värde för ett tvåsidigt test är redan dubblerat och jämförs med $\alpha$. > [!note] Vad direktmetoden inte ger > Direktmetoden räcker när vi bara vill veta om $H_0$ kan förkastas. Vill vi räkna ut testets [[Styrkefunktion|styrka]] behöver vi den kritiska gränsen $k$. $\alpha_0$ säger också hur marginellt beslutet är: $\alpha_0 = 0{,}049$ och $\alpha_0 = 0{,}0001$ ger båda förkastning på $5\ \%$-nivån, men det senare är ett mycket starkare belägg mot $H_0$. > [!warning] Vanliga fel > - **Svansen åt fel håll.** $\alpha_0$ räknas i mothypotesens riktning: för $H_1:\ \mu < \mu_0$ är det $P(\bar\xi\le\bar x\mid H_0)$. > - **Tolka $\alpha_0$ som $P(H_0 \text{ sann})$.** Det är sannolikheten för ett minst lika extremt utfall *om* $H_0$ är sann. --- ## 3. Lösta lektionsuppgifter > [!example]- Inför lektion 16, uppgift A — Coca-Colatestet med direktmetoden > Använd direktmetoden på Coca-Colatestet i [[Sammansatta hypoteser]]: $\xi_i \in N(\mu,\ 1{,}72)$, $n = 10$, $H_0:\ \mu = 330$ mot $H_1:\ \mu < 330$ på $5\ \%$ signifikansnivå, och det observerade medelvärdet är $\bar x = 328{,}5$. Beräkna sannolikheten att få ett lika extremt eller extremare värde, $P(\bar\xi \le 328{,}5)$, givet att $H_0$ är sann, och jämför med signifikansnivån. > > > [!note]- Lösning > > Under $H_0$ är $\bar\xi \in N(330,\ 0{,}544)$, och "extremare" betyder mindre, eftersom $H_1$ säger $\mu < 330$: > > $$ > > \alpha_0 = P(\bar\xi \le 328{,}5 \mid \mu = 330) = \Phi\!\left(\dfrac{328{,}5 - 330}{0{,}544}\right) = \Phi(-2{,}76) \approx \boxed{0{,}003} > > $$ > > $\alpha_0 \approx 0{,}003 < 0{,}05$, så $H_0$ förkastas — samma slutsats som med den kritiska gränsen $329{,}1$. Figuren i avsnitt 2 visar just den här situationen. > > > > **På räknaren.** `normCdf(-∞,328.5,330,1.72/√(10))` ≈ `0.0029`, eller `PVal` i z Test (se [[Sammansatta hypoteser]]). > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens. Slutsatsen stämmer också med facit till lektion 15, övning 1 d).* > [!example]- Lektion 16, övning 3 (Vännman 9.22) — Nio lyckade av elva > Ett försök upprepas 11 gånger oberoende av varandra, med sannolikheten $p$ att lyckas varje gång. Utfallet blev 9 lyckade försök. Använd direktmetoden för att pröva $H_0:\ p = 0{,}5$ på $5\ \%$ signifikansnivå mot > > a) $H_1:\ p > 0{,}5$, > > b) $H_1:\ p \ne 0{,}5$. > > > [!note]- Lösning > > **Modell.** $\xi$ = antal lyckade försök, $\xi \in \text{Bin}(11,\ p)$. Under $H_0$ är $\xi \in \text{Bin}(11,\ 0{,}5)$. > > > > **$\alpha_0$.** Nio lyckade ligger klart i den högra svansen. Sannolikheten för lika extremt eller extremare utfall: > > $$ > > \alpha_0 = P(\xi \ge 9 \mid p = 0{,}5) = 1 - P(\xi\le 8 \mid p = 0{,}5) = \dfrac{\binom{11}{9} + \binom{11}{10} + \binom{11}{11}}{2^{11}} = \dfrac{67}{2048} \approx 0{,}0327 > > $$ > > > > **a)** Ensidig mothypotes: jämför med $\alpha = 0{,}05$. Eftersom $0{,}0327 < 0{,}05$ $\boxed{\text{förkastas } H_0}$. > > > > **b)** Tvåsidig mothypotes: signifikansnivån fördelas på båda svansarna, så enkelsvanssannolikheten jämförs med $\alpha/2 = 0{,}025$. Eftersom $0{,}0327 > 0{,}025$ $\boxed{\text{kan } H_0 \text{ inte förkastas}}$. > > > > Samma data ger alltså olika slutsats beroende på mothypotesen. Därför måste hypoteserna bestämmas **innan** vi tittar på data. > > > > **På räknaren.** `binomCdf(11,0.5,9,11)` ≈ `0.0327`. > > > > *Uppgiften (Vännman 9.22) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($\alpha_0 \approx 0{,}0327$), och slutsatserna stämmer med det.* > [!example]- Lektion 16, övning 4 (Vännman 9.23) — Defekta brickor > Sannolikheten att en bricka är defekt ska vara $0{,}01$. I en sändning om 300 brickor hittades 8 defekta. Pröva med direktmetoden $H_0:\ p = 0{,}01$ mot $H_1:\ p > 0{,}01$ på $2\ \%$ signifikansnivå. > > > [!note]- Lösning > > **Modell.** $\eta$ = antal defekta brickor bland 300, $\eta \in \text{Bin}(300,\ p)$. Under $H_0$ är $p = 0{,}01 \le 0{,}1$ och $n \ge 10$, så approximativt $\eta \in \text{Po}(300\cdot0{,}01) = \text{Po}(3)$. > > > > **$\alpha_0$.** Stora värden talar för $H_1$: > > $$ > > \alpha_0 = P(\eta \ge 8 \mid p = 0{,}01) = 1 - P(\eta \le 7) \approx 1 - 0{,}9881 = \boxed{0{,}0119} > > $$ > > (Exakt binomialsannolikhet: $0{,}0115$.) > > > > **Slutsats.** $\alpha_0 \approx 0{,}012 < 0{,}02$, så $H_0$ förkastas på $2\ \%$ signifikansnivå: andelen defekta är större än $0{,}01$. > > > > **På räknaren.** `1-poissCdf(3,0,7)` ≈ `0.0119`. Den exakta binomialsannolikheten: `binomCdf(300,0.01,8,300)` ≈ `0.0115`. > > > > *Uppgiften (Vännman 9.23) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($\alpha_0 \approx 0{,}0119 < 0{,}02$), och svaret stämmer med det.* --- ## Se även - [[Hypotesprövning]] - [[Sammansatta hypoteser]] - [[Styrkefunktion]] - [[Binomialfördelning]] - [[Poissonfördelning]] ## Resurser - [Khan Academy: P-values and significance tests](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/significance-tests-one-sample) - [Wikipedia: p-värde](https://sv.wikipedia.org/wiki/P-v%C3%A4rde) --- ← [[Styrkefunktion]] · [[S0008M]] · [[Konfidensintervall och hypotesprövning]] →