Sammansatta hypoteser

Kurs: S0008M Förkunskaper: Enkla hypoteser

---

En sammansatt hypotes omfattar ett helt intervall av parametervärden, till exempel $\mu >{\mu }_0$. Testets förmåga att upptäcka en avvikelse beror då på var i intervallet det sanna värdet ligger, och beskrivs av en styrkefunktion.

---

1. Tre mothypoteser

Nollhypotesen är fortfarande enkel, $H_0:\mu ={\mu }_0$, men mothypotesen innehåller ett helt intervall. Vilket kritiskt område vi väljer beror på vad vi vill kunna upptäcka:

Mothypotes	Vi vill upptäcka att $\mu$ …	Förkasta $H_0$ om ($\sigma$ känd)
$H_1:\mu >{\mu }_0$	har ökat	$\bar{x}>{\mu }_0+{\lambda }_{\alpha }\sigma /\sqrt{n}$
$H_1:\mu <{\mu }_0$	har minskat	$\bar{x}<{\mu }_0-{\lambda }_{\alpha }\sigma /\sqrt{n}$
$H_1:\mu \ne {\mu }_0$	har ändrats åt något håll	$|\bar{x}-{\mu }_0|>{\lambda }_{\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}$

De två första testen är ensidiga, det tredje är tvåsidigt: där delas $\alpha$ lika mellan de två svansarna. Gränserna härleds som i Enkla hypoteser, eftersom signifikansnivån bara beror på fördelningen under $H_0$.

Styrkan har nu ett värde för varje $\mu$ i mothypotesen och blir en styrkefunktion $S(\mu )$.

---

2. Standardiserad testvariabel

Att förkasta när $\bar{x}>{\mu }_0+{\lambda }_{\alpha }\sigma /\sqrt{n}$ är samma sak som att förkasta när

$$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}>{\lambda }_{\alpha }$$

Vi kan alltså lika gärna använda $z$ som testvariabel. Den är en observation från $N(0,1)$ när $H_0$ är sann, och den kritiska gränsen blir ${\lambda }_{\alpha }$ oavsett ${\mu }_0$, $\sigma$ och $n$.

---

3. Okänd $\sigma$ — $t$-test

Oftast känner vi inte $\sigma$ i förväg utan måste skatta den med stickprovets standardavvikelse $s$. Vi ersätter då $\sigma$ med $s$ i $z$:

$$\boxed{t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}}$$

Den här testvariabeln är en observation från t-fördelningen med $n-1$ frihetsgrader när $H_0$ är sann. Den kritiska gränsen tas därför ur $t$-tabellen i stället för ur normalfördelningstabellen:

Mothypotes	Förkasta $H_0$ om ($\sigma$ okänd)
$H_1:\mu >{\mu }_0$	$t>t_{\alpha }(n-1)$
$H_1:\mu <{\mu }_0$	$t<-t_{\alpha }(n-1)$
$H_1:\mu \ne {\mu }_0$	$|t|>t_{\alpha /2}(n-1)$

På räknaren: menu → Statistics → Stat Tests → z Test när $\sigma$ är känd och t Test när den är okänd. Välj Stats om du har $\bar{x}$ och $s$, Data om du har mätvärdena i en lista, och Alternate Hyp efter $H_1$. De kritiska gränserna är ${\lambda }_{\alpha }$ = invNorm(1-α) och $t_{\alpha }(f)$ = invt(1-α,f).

Figuren visar det kritiska området för det ensidiga $t$-testet i övning 6 nedan, där $t(7)$ är fördelningen för testvariabeln om $H_0$ är sann:

Vanliga fel

• $\lambda$ när $\sigma$ är skattad. Med $s$ i stället för $\sigma$ blir testvariabeln $t$-fördelad med $n-1$ frihetsgrader.
• Absolutbelopp i ensidigt test. $|t|>t_{\alpha /2}$ gäller bara $H_1:\mu \ne {\mu }_0$; ensidiga test jämför $t$ med $\pm t_{\alpha }$ utan belopp.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 15, övning 1 — Coca-Colaburkar

Låt $x_1,\dots ,x_{10}$ vara observerade värden på ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_{10}$, där ${\xi }_i\in N(\mu ,1,72)$. Enheten är ml. Väntevärdet bör vara $330$. Bestäm ett test som ska upptäcka om $\mu <330$ och som har $5\%$ felrisk om $\mu$ är $330$.

a) Sätt upp noll- och mothypotes.

b) Bestäm testet (strategin).

c) Vad blir slutsatsen om $\bar{x}=329,4$?

d) Vad blir slutsatsen om $\bar{x}=328,5$?

Lösning

a) Vi vill kunna påvisa att burkarna innehåller för lite, så det läggs i mothypotesen:

$$H_0:\mu =330,H_1:\mu <330$$

b) Små värden på $\bar{x}$ talar för $H_1$: förkasta $H_0$ om $\bar{x}<k$. Under $H_0$ är $\bar{\xi }\in N(330,1,72/\sqrt{10})=N(330,0,544)$, och

$$0,05=P(\bar{\xi }<k\mid \mu =330)⟹k=330-{\lambda }_{0,05}\cdot \frac{1,72}{\sqrt{10}}=330-1,6449\cdot 0,544\approx 329,1$$

Testet: $\boxed{\text{fo¨rkasta }{H}_0\text{ om }\bar{x}<329,1}$.

c) $\bar{x}=329,4$ ligger inte under $329,1$. $H_0$ kan inte förkastas på $5\%$ signifikansnivå — vi har inte påvisat att burkarna innehåller för lite.

d) $\bar{x}=328,5<329,1$. $H_0$ förkastas på $5\%$ signifikansnivå: med $5\%$ felrisk kan vi påstå att $\mu <330$.

På räknaren. $k$ direkt: invNorm(0.05,330,1.72/√(10)) ≈ 329.105. Eller z Test med Stats: μ0: 330, σ: 1.72, x̄: 328.5, n: 10, Alternate Hyp μ < μ0 ger $z\approx -2,76$ och PVal $\approx 0,003<0,05$ — samma slutsats som d), se Direktmetoden.

Facit: a) $H_0:\mu =330$, $H_1:\mu <330$; b) förkasta $H_0$ om $\bar{x}<329,1$; c) kan inte förkastas; d) förkastas.

Lektion 15, övning 6 (Vännman 9.16) — $t$-test med åtta mätvärden

Åtta oberoende mätvärden, ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$ med okänt $\sigma$, gav $\bar{x}=782,875$ och $s=2,1002$. Pröva $H_0:\mu =785$ mot $H_1:\mu <785$ på signifikansnivån $5\%$.

Lösning

Testvariabel. $\sigma$ är okänd, så vi använder

$$t=\frac{\bar{x}-785}{s/\sqrt{8}}$$

som är en observation från $t(7)$ om $H_0$ är sann.

Strategi. Små värden talar för $H_1$: förkasta $H_0$ om $t<-t_{0,05}(7)\approx -1,895$.

Slutsats.

$$t=\frac{782,875-785}{2,1002/\sqrt{8}}\approx -2,86<-1,895$$

$\boxed{H_0\text{ fo¨rkastas}}$ på $5\%$ signifikansnivå: vi har påvisat att $\mu <785$.

På räknaren. t Test med Stats: μ0: 785, x̄: 782.875, sx: 2.1002, n: 8, Alternate Hyp μ < μ0. Räknaren ger $t\approx -2,86$ och PVal $\approx 0,012$. Gränsen: invt(0.05,7) ≈ -1.895.

Uppgiften (Vännman 9.16) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($t\approx -2,86<-1,895$), och slutsatsen stämmer med det.

Lektion 16, övning 1 — Enheter som ska väga 500 gram

En maskin tillverkar enheter som bör väga 500 gram. För att se att den genomsnittliga vikten håller sig på 500 gram tas regelbundet ett stickprov av storlek 8. Bilda ett test baserat på 8 mätvärden $x_1,\dots ,x_8$ som ska upptäcka en genomsnittlig systematisk avvikelse från 500, alltså om $\mu \ne 500$. Använd $5\%$ signifikansnivå och anta att mätvärdena är normalfördelade.

a) Ange fullständiga modellantaganden och hypoteser.

b) Bestäm testet, det vill säga beslutsstrategin.

c) Ett stickprov gav $\bar{x}=497,8$ gram och $s=2,1$. Vad blir slutsatsen?

Lösning

a) ${\xi }_i$ = vikten hos enhet nummer $i$, $i=1,\dots ,8$. De är oberoende och ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$ med både $\mu$ och $\sigma$ okända.

$$H_0:\mu =500,H_1:\mu \ne 500$$

b) $\sigma$ är okänd och mothypotesen tvåsidig. Med $t_{0,025}(7)\approx 2,365$:

$$\text{fo¨rkasta }{H}_0\text{ om }\left|\frac{\bar{x}-500}{s/\sqrt{8}}\right|>2,365$$

c)

$$\left|\frac{497,8-500}{2,1/\sqrt{8}}\right|\approx |-2,96|=2,96>2,365$$

$\boxed{H_0\text{ fo¨rkastas}}$ på $5\%$ signifikansnivå: det finns en genomsnittlig systematisk avvikelse från 500 gram.

Samma slutsats med ett konfidensintervall finns i Konfidensintervall och hypotesprövning.

På räknaren. t Test med Stats: μ0: 500, x̄: 497.8, sx: 2.1, n: 8, Alternate Hyp μ ≠ μ0. Räknaren ger $t\approx -2,96$ och PVal $\approx 0,021<0,05$. Gränsen: invt(0.975,7) ≈ 2.365.

Facit: a) ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$, $H_0:\mu =500$, $H_1:\mu \ne 500$; b) förkasta $H_0$ om $|\bar{x}-500|/(s/\sqrt{8})>2,365$; c) $H_0$ förkastas.

---

Se även

• Hypotesprövning
• Enkla hypoteser
• Styrkefunktion
• Direktmetoden
• t-fördelningen
• Konfidensintervall och hypotesprövning

Resurser

• Khan Academy: Tests about a population mean
• Wikipedia: Student’s t-test

---

← Signifikansnivå och styrka · S0008M · Styrkefunktion →