---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - metod
förkunskaper:
  - "[[Enkla hypoteser]]"
status: utkast
aliases:
  - Sammansatt hypotes
  - Ensidigt test
  - Tvåsidigt test
  - t-test
  - z-test
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Enkla hypoteser]]

---

En sammansatt hypotes omfattar ett helt intervall av parametervärden, till exempel $\mu>\mu_0$. Testets förmåga att upptäcka en avvikelse beror då på var i intervallet det sanna värdet ligger, och beskrivs av en styrkefunktion.

---

## 1. Tre mothypoteser

Nollhypotesen är fortfarande enkel, $H_0:\ \mu = \mu_0$, men mothypotesen innehåller ett helt intervall. Vilket kritiskt område vi väljer beror på vad vi vill kunna upptäcka:

| Mothypotes | Vi vill upptäcka att $\mu$ … | Förkasta $H_0$ om ($\sigma$ känd) |
|---|---|---|
| $H_1:\ \mu > \mu_0$ | har ökat | $\bar x > \mu_0 + \lambda_\alpha\,\sigma/\sqrt n$ |
| $H_1:\ \mu < \mu_0$ | har minskat | $\bar x < \mu_0 - \lambda_\alpha\,\sigma/\sqrt n$ |
| $H_1:\ \mu \ne \mu_0$ | har ändrats åt något håll | $\lvert\bar x - \mu_0\rvert > \lambda_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$ |

De två första testen är **ensidiga**, det tredje är **tvåsidigt**: där delas $\alpha$ lika mellan de två svansarna. Gränserna härleds som i [[Enkla hypoteser]], eftersom signifikansnivån bara beror på fördelningen under $H_0$.

Styrkan har nu ett värde för varje $\mu$ i mothypotesen och blir en [[Styrkefunktion|styrkefunktion]] $S(\mu)$.

---

## 2. Standardiserad testvariabel

Att förkasta när $\bar x > \mu_0 + \lambda_\alpha\,\sigma/\sqrt n$ är samma sak som att förkasta när

$$
z = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} > \lambda_\alpha
$$

Vi kan alltså lika gärna använda $z$ som testvariabel. Den är en observation från $N(0,1)$ när $H_0$ är sann, och den kritiska gränsen blir $\lambda_\alpha$ oavsett $\mu_0$, $\sigma$ och $n$.

---

## 3. Okänd $\sigma$ — $t$-test

Oftast känner vi inte $\sigma$ i förväg utan måste skatta den med stickprovets standardavvikelse $s$. Vi ersätter då $\sigma$ med $s$ i $z$:

$$
\boxed{t = \dfrac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt n}}
$$

Den här testvariabeln är en observation från [[t-fördelningen]] med $n-1$ frihetsgrader när $H_0$ är sann. Den kritiska gränsen tas därför ur $t$-tabellen i stället för ur normalfördelningstabellen:

| Mothypotes | Förkasta $H_0$ om ($\sigma$ okänd) |
|---|---|
| $H_1:\ \mu > \mu_0$ | $t > t_\alpha(n-1)$ |
| $H_1:\ \mu < \mu_0$ | $t < -t_\alpha(n-1)$ |
| $H_1:\ \mu \ne \mu_0$ | $\lvert t\rvert > t_{\alpha/2}(n-1)$ |

På räknaren: `menu` → **Statistics** → **Stat Tests** → **z Test** när $\sigma$ är känd och **t Test** när den är okänd. Välj **Stats** om du har $\bar x$ och $s$, **Data** om du har mätvärdena i en lista, och **Alternate Hyp** efter $H_1$. De kritiska gränserna är $\lambda_\alpha$ = `invNorm(1-α)` och $t_\alpha(f)$ = `invt(1-α,f)`.

Figuren visar det kritiska området för det ensidiga $t$-testet i övning 6 nedan, där $t(7)$ är fördelningen för testvariabeln om $H_0$ är sann:

![[lek15-t-test.png|520]]

> [!warning] Vanliga fel
> - **$\lambda$ när $\sigma$ är skattad.** Med $s$ i stället för $\sigma$ blir testvariabeln $t$-fördelad med $n-1$ frihetsgrader.
> - **Absolutbelopp i ensidigt test.** $|t| > t_{\alpha/2}$ gäller bara $H_1:\ \mu\ne\mu_0$; ensidiga test jämför $t$ med $\pm t_\alpha$ utan belopp.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 15, övning 1 — Coca-Colaburkar
> Låt $x_1,\dots,x_{10}$ vara observerade värden på $\xi_1,\dots,\xi_{10}$, där $\xi_i \in N(\mu,\ 1{,}72)$. Enheten är ml. Väntevärdet bör vara $330$. Bestäm ett test som ska upptäcka om $\mu < 330$ och som har $5\ \%$ felrisk om $\mu$ är $330$.
>
> a) Sätt upp noll- och mothypotes.
>
> b) Bestäm testet (strategin).
>
> c) Vad blir slutsatsen om $\bar x = 329{,}4$?
>
> d) Vad blir slutsatsen om $\bar x = 328{,}5$?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Vi vill kunna påvisa att burkarna innehåller för lite, så det läggs i mothypotesen:
> > $$
> > H_0:\ \mu = 330, \qquad H_1:\ \mu < 330
> > $$
> >
> > **b)** Små värden på $\bar x$ talar för $H_1$: förkasta $H_0$ om $\bar x < k$. Under $H_0$ är $\bar\xi \in N(330,\ 1{,}72/\sqrt{10}) = N(330,\ 0{,}544)$, och
> > $$
> > 0{,}05 = P(\bar\xi < k \mid \mu = 330) \quad\Longrightarrow\quad k = 330 - \lambda_{0{,}05}\cdot\dfrac{1{,}72}{\sqrt{10}} = 330 - 1{,}6449\cdot0{,}544 \approx 329{,}1
> > $$
> > Testet: $\boxed{\text{förkasta } H_0 \text{ om } \bar x < 329{,}1}$.
> >
> > **c)** $\bar x = 329{,}4$ ligger inte under $329{,}1$. $H_0$ **kan inte förkastas** på $5\ \%$ signifikansnivå — vi har inte påvisat att burkarna innehåller för lite.
> >
> > **d)** $\bar x = 328{,}5 < 329{,}1$. $H_0$ **förkastas** på $5\ \%$ signifikansnivå: med $5\ \%$ felrisk kan vi påstå att $\mu < 330$.
> >
> > **På räknaren.** $k$ direkt: `invNorm(0.05,330,1.72/√(10))` ≈ `329.105`. Eller z Test med **Stats**: `μ0: 330`, `σ: 1.72`, `x̄: 328.5`, `n: 10`, **Alternate Hyp** `μ < μ0` ger $z \approx -2{,}76$ och `PVal` $\approx 0{,}003 < 0{,}05$ — samma slutsats som d), se [[Direktmetoden]].
> >
> > *Facit: a) $H_0:\ \mu = 330$, $H_1:\ \mu < 330$; b) förkasta $H_0$ om $\bar x < 329{,}1$; c) kan inte förkastas; d) förkastas.*

> [!example]- Lektion 15, övning 6 (Vännman 9.16) — $t$-test med åtta mätvärden
> Åtta oberoende mätvärden, $\xi_i \in N(\mu,\sigma)$ med okänt $\sigma$, gav $\bar x = 782{,}875$ och $s = 2{,}1002$. Pröva $H_0:\ \mu = 785$ mot $H_1:\ \mu < 785$ på signifikansnivån $5\ \%$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Testvariabel.** $\sigma$ är okänd, så vi använder
> > $$
> > t = \dfrac{\bar x - 785}{s/\sqrt 8}
> > $$
> > som är en observation från $t(7)$ om $H_0$ är sann.
> >
> > **Strategi.** Små värden talar för $H_1$: förkasta $H_0$ om $t < -t_{0{,}05}(7) \approx -1{,}895$.
> >
> > **Slutsats.**
> > $$
> > t = \dfrac{782{,}875 - 785}{2{,}1002/\sqrt 8} \approx -2{,}86 < -1{,}895
> > $$
> > $\boxed{H_0 \text{ förkastas}}$ på $5\ \%$ signifikansnivå: vi har påvisat att $\mu < 785$.
> >
> > **På räknaren.** t Test med **Stats**: `μ0: 785`, `x̄: 782.875`, `sx: 2.1002`, `n: 8`, **Alternate Hyp** `μ < μ0`. Räknaren ger $t \approx -2{,}86$ och `PVal` $\approx 0{,}012$. Gränsen: `invt(0.05,7)` ≈ `-1.895`.
> >
> > *Uppgiften (Vännman 9.16) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($t \approx -2{,}86 < -1{,}895$), och slutsatsen stämmer med det.*

> [!example]- Lektion 16, övning 1 — Enheter som ska väga 500 gram
> En maskin tillverkar enheter som bör väga 500 gram. För att se att den genomsnittliga vikten håller sig på 500 gram tas regelbundet ett stickprov av storlek 8. Bilda ett test baserat på 8 mätvärden $x_1,\dots,x_8$ som ska upptäcka en genomsnittlig systematisk avvikelse från 500, alltså om $\mu \ne 500$. Använd $5\ \%$ signifikansnivå och anta att mätvärdena är normalfördelade.
>
> a) Ange fullständiga modellantaganden och hypoteser.
>
> b) Bestäm testet, det vill säga beslutsstrategin.
>
> c) Ett stickprov gav $\bar x = 497{,}8$ gram och $s = 2{,}1$. Vad blir slutsatsen?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** $\xi_i$ = vikten hos enhet nummer $i$, $i = 1,\dots,8$. De är oberoende och $\xi_i \in N(\mu,\sigma)$ med både $\mu$ och $\sigma$ okända.
> > $$
> > H_0:\ \mu = 500, \qquad H_1:\ \mu \ne 500
> > $$
> >
> > **b)** $\sigma$ är okänd och mothypotesen tvåsidig. Med $t_{0{,}025}(7) \approx 2{,}365$:
> > $$
> > \text{förkasta } H_0 \text{ om } \left\lvert\dfrac{\bar x - 500}{s/\sqrt 8}\right\rvert > 2{,}365
> > $$
> >
> > **c)**
> > $$
> > \left\lvert\dfrac{497{,}8 - 500}{2{,}1/\sqrt 8}\right\rvert \approx \lvert -2{,}96\rvert = 2{,}96 > 2{,}365
> > $$
> > $\boxed{H_0 \text{ förkastas}}$ på $5\ \%$ signifikansnivå: det finns en genomsnittlig systematisk avvikelse från 500 gram.
> >
> > Samma slutsats med ett konfidensintervall finns i [[Konfidensintervall och hypotesprövning]].
> >
> > **På räknaren.** t Test med **Stats**: `μ0: 500`, `x̄: 497.8`, `sx: 2.1`, `n: 8`, **Alternate Hyp** `μ ≠ μ0`. Räknaren ger $t \approx -2{,}96$ och `PVal` $\approx 0{,}021 < 0{,}05$. Gränsen: `invt(0.975,7)` ≈ `2.365`.
> >
> > *Facit: a) $\xi_i \in N(\mu,\sigma)$, $H_0:\ \mu = 500$, $H_1:\ \mu \ne 500$; b) förkasta $H_0$ om $\lvert\bar x - 500\rvert/(s/\sqrt 8) > 2{,}365$; c) $H_0$ förkastas.*

---

## Se även

- [[Hypotesprövning]]
- [[Enkla hypoteser]]
- [[Styrkefunktion]]
- [[Direktmetoden]]
- [[t-fördelningen]]
- [[Konfidensintervall och hypotesprövning]]

## Resurser

- [Khan Academy: Tests about a population mean](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/significance-tests-one-sample)
- [Wikipedia: Student's t-test](https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test)

---

← [[Signifikansnivå och styrka]] · [[S0008M]] · [[Styrkefunktion]] →