---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - begrepp
förkunskaper:
  - "[[Hypotesprövning]]"
  - "[[Enkla hypoteser]]"
status: utkast
aliases:
  - Signifikansnivå
  - Styrka
  - Felrisk
  - Testets styrka
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Hypotesprövning]], [[Enkla hypoteser]]

---

Signifikansnivån är sannolikheten att förkasta en sann nollhypotes, och styrkan är sannolikheten att förkasta en falsk. Vi väljer signifikansnivån själva; styrkan styr vi med antalet observationer.

---

## 1. Definitionerna

$$
\boxed{\alpha = P(\text{förkasta } H_0 \mid H_0 \text{ sann})}
$$

$$
\boxed{\text{styrkan} = P(\text{förkasta } H_0 \mid H_1 \text{ sann})}
$$

Signifikansnivån är risken för **fel av första slaget** i [[Hypotesprövning|hypotesprövningen]]. Styrkan är $1 - \beta$, där $\beta$ är risken för **fel av andra slaget**. Ett bra test har litet $\alpha$ och stor styrka.

Är mothypotesen sammansatt, till exempel $\mu > \mu_0$, har styrkan ett värde för varje $\mu$ i mothypotesen. Då blir den en funktion, [[Styrkefunktion|styrkefunktionen]] $S(\mu)$.

---

## 2. Vad påverkar styrkan

För testet "förkasta $H_0:\ \mu = \mu_0$ om $\bar x > k$" med $\bar\xi \in N(\mu,\ \sigma/\sqrt n)$ är styrkan i ett värde $\mu_1 > \mu_0$

$$
P(\bar\xi > k \mid \mu = \mu_1) = 1 - \Phi\!\left(\dfrac{k - \mu_1}{\sigma/\sqrt n}\right)
$$

Ur formeln syns tre saker:

| Ändring | Effekt på styrkan |
|---|---|
| Mindre $\alpha$ (större $k$) | minskar |
| Större avstånd $\mu_1 - \mu_0$ | ökar — stora avvikelser är lättare att upptäcka |
| Större $n$ | ökar — $\sigma/\sqrt n$ krymper |

![[styrka-mot-n.png|520]]

Figuren gäller påsfyllningen i [[Hypotesprövning]] ($\mu_0 = 500$, $\sigma = 4$, $\alpha = 0{,}05$) och visar styrkan i $\mu_1 = 503$. Med $n = 9$ upptäcks en avvikelse på $3$ g bara i knappt tre fall av fyra; med $n = 20$ i minst $95\ \%$ av fallen.

---

## 3. Att bestämma $n$

Kräver vi både en viss signifikansnivå $\alpha$ och minst styrkan $1 - \beta$ i ett visst $\mu_1$ får vi två villkor på $k$:

$$
k = \mu_0 + \lambda_\alpha\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, \qquad k = \mu_1 - \lambda_\beta\dfrac{\sigma}{\sqrt n}
$$

Sätter vi dem lika och löser ut $n$:

$$
\boxed{n = \left(\dfrac{(\lambda_\alpha + \lambda_\beta)\,\sigma}{\mu_1 - \mu_0}\right)^2}
$$

> [!warning] Avrunda uppåt och bestäm $k$ efteråt
> $n$ blir sällan ett heltal. Avrunda till **närmast högre** heltal, så att styrkan blir minst den krävda, och bestäm sedan $k$ ur signifikansvillkoret med det nya $n$, så att signifikansnivån blir exakt rätt.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 15, övning 4 (Vännman 9.6) — Livslängd hos däck
> Livslängden hos däck antas vara $\xi_i \in N(\mu,\ 900)$, oberoende, $i = 1,\dots,n$. Vi vill pröva $H_0:\ \mu = 5400$ mot $H_1:\ \mu > 5400$ med testet "förkasta $H_0$ om $\bar x > k$". Bestäm $n$ och $k$ så att signifikansnivån blir $0{,}01$ och styrkan minst $0{,}95$ om $\mu = 6300$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Fördelning.** $\bar\xi \in N(\mu,\ 900/\sqrt n)$.
> >
> > **Signifikansnivån.** $\lambda_{0{,}01} \approx 2{,}3263$:
> > $$
> > 0{,}01 = P(\bar\xi > k \mid \mu = 5400) \quad\Longrightarrow\quad k = 5400 + 2{,}3263\cdot\dfrac{900}{\sqrt n} \tag{1}
> > $$
> >
> > **Styrkan i $\mu = 6300$.** $\lambda_{0{,}05} \approx 1{,}6449$:
> > $$
> > 0{,}95 = P(\bar\xi > k \mid \mu = 6300) \quad\Longrightarrow\quad k = 6300 - 1{,}6449\cdot\dfrac{900}{\sqrt n} \tag{2}
> > $$
> >
> > **Lös ut $n$.** (1) = (2) ger
> > $$
> > \dfrac{(2{,}3263 + 1{,}6449)\cdot900}{\sqrt n} = 900 \quad\Longrightarrow\quad n = 3{,}9712^2 \approx 15{,}77
> > $$
> > Med $n = 15$ blir styrkan $\approx 0{,}939$, för lite. Med $\boxed{n = 16}$ blir den $\approx 0{,}953$. Villkor (1) ger sedan
> > $$
> > k = 5400 + 2{,}3263\cdot\dfrac{900}{\sqrt{16}} \approx \boxed{5923{,}4}
> > $$
> >
> > **På räknaren.** $\lambda_{0{,}01}$ = `invNorm(0.99)`, $\lambda_{0{,}05}$ = `invNorm(0.95)`. Styrkan för $n = 16$: `normCdf(5923.4,∞,6300,900/4)` ≈ `0.953`.
> >
> > *Uppgiften (Vännman 9.6) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($n = 16$, $k \approx 5923{,}42$), och svaret stämmer med det.*

> [!example]- Exempel — Styrka och antal påsar
> Påsfyllningen: $H_0:\ \mu = 500$ mot $H_1:\ \mu > 500$, $\sigma = 4$ känd, $\alpha = 0{,}05$.
>
> a) Beräkna styrkan i $\mu = 503$ med $n = 9$.
>
> b) Hur många påsar behövs för att styrkan i $\mu = 503$ ska bli minst $0{,}95$?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Med $n = 9$ är $k \approx 502{,}19$ (se [[Hypotesprövning]]), och
> > $$
> > P(\bar\xi > 502{,}193\mid\mu = 503) = 1 - \Phi\!\left(\dfrac{502{,}193 - 503}{4/3}\right) = \Phi(0{,}605) \approx \boxed{0{,}727}
> > $$
> >
> > **b)** $\lambda_{0{,}05} = 1{,}6449$ för både $\alpha$ och $\beta = 0{,}05$:
> > $$
> > n = \left(\dfrac{(1{,}6449 + 1{,}6449)\cdot 4}{503 - 500}\right)^2 \approx 19{,}24 \quad\Rightarrow\quad \boxed{n = 20}
> > $$
> >
> > **På räknaren.** a) `1-normCdf(-∞,502.19,503,4/3)`.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **$\beta$ är inte $1-\alpha$.** $\alpha$ och $\beta$ räknas under olika hypoteser och summerar inte till $1$.
> - **Styrka i $\mu_0$.** Där är "styrkan" $\alpha$, inte något stort tal.
> - **Avrunda $n$ nedåt.** $19{,}24$ ger $n = 20$; med $19$ når styrkan inte kravet.

---

## Se även

- [[Hypotesprövning]]
- [[Enkla hypoteser]]
- [[Styrkefunktion]]
- [[Sammansatta hypoteser]]

## Resurser

- [Wikipedia: Power of a test](https://en.wikipedia.org/wiki/Power_of_a_test)
- [Wikipedia: Statistical significance](https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_significance)

---

← [[Enkla hypoteser]] · [[S0008M]] · [[Sammansatta hypoteser]] →