---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - fördelning
förkunskaper:
  - "[[Normalfördelning]]"
status: utkast
aliases:
  - Standardnormalfördelning
  - N(0,1)
  - Standardisering
  - Phi
  - λ_α
  - Normalfördelningens kvantiler
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Normalfördelning]]

---

Den standardiserade normalfördelningen är $N(0,1)$, normalfördelningen med väntevärde $0$ och standardavvikelse $1$. Varje normalfördelning kan föras över till den genom att vi drar bort väntevärdet och delar med standardavvikelsen, och därför räcker en enda tabell: $\Phi(x)$ för sannolikheter och $\lambda_\alpha$ för kvantiler.

---

## 1. $N(0,1)$ och $\Phi$

Är $\xi\in N(0,1)$ blir frekvensfunktionen

$$
\varphi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}
$$

och fördelningsfunktionen betecknas med ett eget tecken:

$$
\boxed{\Phi(x) = P(\xi\le x)}
$$

![[lek07-standardnormal-phi-lambda.png|520]]

$\Phi(x)$ är den ljusa arean till vänster om $x$. Kursbokens normalfördelningstabell ger $\Phi(x)$ för $x\ge 0$.

---

## 2. Symmetrin

Kurvan är symmetrisk kring $0$: arean till vänster om $-x$ är lika stor som arean till höger om $x$. Alltså

$$
\boxed{\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)}
$$

Därför behöver tabellen bara positiva $x$. Två följder som används hela tiden:

$$
P(\xi > x) = 1 - \Phi(x), \qquad P(-x < \xi < x) = 2\Phi(x) - 1
$$

> [!tip] Rita alltid figuren
> Skissa klockan, markera gränserna och skugga den sökta arean innan du slår i tabellen. Då syns direkt om svaret ska vara större eller mindre än $0{,}5$, och om symmetrin behövs.

---

## 3. Standardisering

**Sats 6.1.** Om $\xi\in N(\mu,\sigma)$ så är

$$
\boxed{\dfrac{\xi - \mu}{\sigma} \in N(0,1)}
$$

Satsen är en omformulering av Sats 4.2 i [[Normalfördelning|normalfördelningen]]: $P(\xi\le x) = P\big((\xi-\mu)/\sigma \le (x-\mu)/\sigma\big) = \Phi\big((x-\mu)/\sigma\big)$. Att bilda $(\xi-\mu)/\sigma$ kallas att **standardisera** eller normera $\xi$. Det fungerar eftersom en [[Linjära funktioner av stokastiska variabler|linjär funktion]] av en normalfördelad variabel är normalfördelad, och räknereglerna för väntevärde och varians ger väntevärde $0$ och standardavvikelse $1$.

---

## 4. Kvantiler: $\lambda_\alpha$

Ofta frågar vi baklänges: vilket $x$ har en given sannolikhet ovanför sig? För $\xi\in N(0,1)$ definieras $\lambda_\alpha$ av

$$
\boxed{P(\xi > \lambda_\alpha) = \alpha}, \qquad\text{alltså}\qquad \Phi(\lambda_\alpha) = 1 - \alpha
$$

$\lambda_\alpha$ är den mörka svansen i figuren ovan. Kursboken har en egen tabell för de vanligaste $\alpha$, och på miniräknaren ger `invNorm(1-α)` samma sak. I annan litteratur skrivs $\lambda_\alpha$ ofta $z_\alpha$.

| $\alpha$ | $0{,}10$ | $0{,}05$ | $0{,}025$ | $0{,}01$ | $0{,}005$ | $0{,}001$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lambda_\alpha$ | $1{,}2816$ | $1{,}6449$ | $1{,}9600$ | $2{,}3263$ | $2{,}5758$ | $3{,}0902$ |

På grund av symmetrin är $P(\xi < -\lambda_\alpha) = \alpha$, och $P(-\lambda_{\alpha/2} < \xi < \lambda_{\alpha/2}) = 1 - \alpha$. Det sista är grunden för [[Konfidensintervall|konfidensintervall]].

> [!warning] Vanliga fel
> - **Dela med variansen.** Standardiseringen är $(\xi - \mu)/\sigma$ med standardavvikelsen, inte $\sigma^2$.
> - **Negativa argument.** Tabellen saknar negativa värden; använd $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$.
> - **Blanda ihop $\Phi$ och $\lambda_\alpha$.** $\Phi(x)$ är sannolikheten *till vänster*; $\lambda_\alpha$ har sannolikheten $\alpha$ *till höger*, så $\lambda_{0{,}025} = 1{,}96$.
> - **`normCdf` med varians.** Räknaren vill ha $\sigma$ som sista argument, inte $\sigma^2$.

---

## 5. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 7, övning 4 — Mätfel
> Mätfelet $\xi$ är normalfördelat $N(0,1)$. Skissa frekvensfunktionen och markera de sökta sannolikheterna. Beräkna
>
> a) $P(\xi > 1{,}75)$,
>
> b) $P(\xi < -1{,}75)$,
>
> c) $P(-0{,}78 < \xi < 2{,}13)$.
>
> Bestäm talet $a$ så att
>
> d) $P(\xi > a) = 0{,}025$,
>
> e) $P(\xi < a) = 0{,}001$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)**
> > $$
> > P(\xi > 1{,}75) = 1 - \Phi(1{,}75) \approx 1 - 0{,}9599 = \boxed{0{,}040}
> > $$
> >
> > **b)** Symmetrin: vänstersvansen under $-1{,}75$ är lika stor som högersvansen över $1{,}75$:
> > $$
> > P(\xi < -1{,}75) = \Phi(-1{,}75) = 1 - \Phi(1{,}75) \approx \boxed{0{,}040}
> > $$
> >
> > **c)**
> > $$
> > P(-0{,}78 < \xi < 2{,}13) = \Phi(2{,}13) - \Phi(-0{,}78) = \Phi(2{,}13) - \big(1 - \Phi(0{,}78)\big) \approx 0{,}9834 - 1 + 0{,}7823 = \boxed{0{,}766}
> > $$
> >
> > **d)** Per definition är $a = \lambda_{0{,}025}$:
> > $$
> > a = \lambda_{0{,}025} \approx \boxed{1{,}96}
> > $$
> >
> > **e)** Svansen till vänster har sannolikheten $0{,}001$, så $a$ är negativt. Symmetrin ger $P(\xi < -\lambda_{0{,}001}) = 0{,}001$:
> > $$
> > a = -\lambda_{0{,}001} \approx \boxed{-3{,}09}
> > $$
> >
> > **På räknaren.** a) `normCdf(1.75,∞)`, c) `normCdf(-0.78,2.13)`, d) `invNorm(0.975)`, e) `invNorm(0.001)`.
> >
> > *Facit: a) 0,040, b) 0,040, c) 0,766, d) 1,96, e) −3,09.*

---

## Se även

- [[Normalfördelning]]
- [[Fördelningsfunktion]]
- [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]
- [[Konfidensintervall]]
- [[Hypotesprövning]]

## Resurser

- [Khan Academy: Normal distributions](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/normal-distributions-library)
- [Wikipedia: Standard normal table](https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table)

---

← [[Normalfördelning]] · [[S0008M]] · [[Median och kvantiler]] →