--- kurs: - S0008M tags: - matematik - statistik - metod förkunskaper: - "[[Statistisk inferens]]" - "[[Binomialfördelning]]" status: utkast aliases: - Konfidensintervall för medianen - Fördelningsfritt intervall - Ordningsstatistika --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Statistisk inferens]], [[Binomialfördelning]] --- Teckenintervallet är ett konfidensintervall för medianen som bara bygger på observationernas tecken relativt ett värde. Metoden är fördelningsfri — den kräver inget normalfördelningsantagande — men ger till gengäld ett bredare intervall. --- ## 1. Förutsättningar Observationerna $x_1,\dots,x_n$ ses som oberoende observationer av en **kontinuerlig** stokastisk variabel $\xi$ med okänd median $m$. Mer än så behöver vi inte veta — inte vilken fördelning det är. Medianen uppfyller $P(\xi < m) = P(\xi > m) = 0{,}5$. Varje observation hamnar alltså under $m$ med sannolikheten $0{,}5$, oberoende av de andra. --- ## 2. Ordnade observationer Sortera observationerna i växande ordning och beteckna dem $$ \xi_{(1)} \le \xi_{(2)} \le \dots \le \xi_{(n)} $$ så att $\xi_{(1)}$ är den minsta och $\xi_{(n)}$ den största. Teckenintervallet stryker de $k$ minsta och de $k$ största: $$ \boxed{I_m = \big[\xi_{(k+1)},\ \xi_{(n-k)}\big]} $$ ![[lek11-teckenintervall.png|560]] --- ## 3. Konfidensgraden Låt $\eta$ = antalet observationer som är mindre än $m$. Varje observation är en [[Oberoende upprepningar|oberoende upprepning]] med sannolikheten $0{,}5$, så $$ \eta\in\text{Bin}(n,\ 0{,}5) $$ Intervallet missar $m$ om $m$ ligger till vänster om det — högst $k$ observationer under $m$ — eller till höger — högst $k$ observationer över $m$. De två händelserna är disjunkta och lika sannolika av symmetriskäl: $$ \boxed{P(m\in I_m) = 1 - 2\,P(\eta\le k), \qquad \eta\in\text{Bin}(n,\ 0{,}5)} $$ > [!note] Konfidensgraden kan inte väljas fritt > Eftersom $k$ är ett heltal kan vi bara få vissa konfidensgrader. Vi väljer det största $k$ som ger minst den konfidensgrad vi vill ha, till exempel $95\ \%$. > [!tip] Generell men inte effektiv > Teckenintervallet använder bara om varje observation ligger under eller över $m$, inte hur långt ifrån. Vet vi att observationerna är normalfördelade ger [[Konfidensintervall|normalfördelningsintervallen]] kortare intervall med samma konfidensgrad. > [!warning] Vanliga fel > - **Glömma faktorn 2.** Konfidensgraden är $1 - 2P(\eta\le k)$; intervallet kan missa på båda sidor. > - **Räkna från fel ände.** Intervallet går från den $(k+1)$:a minsta till den $(k+1)$:a största observationen. --- ## 4. Lösta lektionsuppgifter > [!example]- Lektion 11, övning 1 och 2 — Konfidensgrad för teckenintervall > Låt $\xi$ vara en kontinuerlig stokastisk variabel med median $m$, och gör 10 oberoende mätningar. > > a) Bestäm $P(\xi < m)$. > > b) Vilken konfidensgrad har teckenintervallet $[\xi_{(1)},\ \xi_{(10)}]$? > > c) Låt $\eta$ = antalet mätvärden som är $< m$. Vilka värden kan $\eta$ anta, och vilken fördelning har $\eta$? > > d) Bestäm konfidensgraden för intervallet $[\xi_{(3)},\ \xi_{(8)}]$. > > e) Generalisera till ett stickprov av storlek $n$ och intervallet $[\xi_{(k+1)},\ \xi_{(n-k)}]$. > > > [!note]- Lösning > > **a)** Medianen delar massan på mitten: $P(\xi < m) = \boxed{0{,}5}$. > > > > **c)** $\eta$ kan anta värdena $0, 1, \dots, 10$. Varje mätning hamnar under $m$ med sannolikheten $0{,}5$, oberoende av de andra, så $\eta\in\text{Bin}(10,\ 0{,}5)$. > > > > **b)** $[\xi_{(1)},\ \xi_{(10)}]$ är teckenintervallet med $k = 0$. Det missar bara om alla tio hamnar på samma sida om $m$: > > $$ > > P(m\in I) = 1 - 2\,P(\eta = 0) = 1 - 2\cdot0{,}5^{10} \approx \boxed{0{,}998} > > $$ > > > > **d)** $[\xi_{(3)},\ \xi_{(8)}]$ stryker två observationer i varje ände, $k = 2$: > > $$ > > P(m\in I) = 1 - 2\,P(\eta\le 2) = 1 - 2\cdot\dfrac{\binom{10}{0} + \binom{10}{1} + \binom{10}{2}}{2^{10}} = 1 - 2\cdot\dfrac{56}{1024} \approx \boxed{0{,}891} > > $$ > > > > **e)** Samma resonemang med $\eta\in\text{Bin}(n,\ 0{,}5)$ ger $P(m\in I) = 1 - 2P(\eta\le k)$, avsnitt 3 ovan. > > > > **På räknaren.** d) `1-2*binomCdf(10,0.5,0,2)`. > > > > *Facit: b) konfidensgraden 99,8 % (med bokens data i övning 8.7 blir intervallet [140, 520]); c) $\eta\in\text{Bin}(10,\ 0{,}5)$; d) 0,891.* > [!example]- Lektion 12, övning 10 (Vännman 8.19 b) — Densitet utan normalfördelningsantagande > Densiteten (g/cm³) hos ett material mäts 13 gånger. Vi antar ingenting om att mätvärdena är normalfördelade, bara att de är oberoende observationer av en kontinuerlig fördelning. Bilda ett konfidensintervall för fördelningens median $m$ med konfidensgrad nära $98\ \%$. > > > [!note]- Lösning > > **Metod.** Utan normalfördelningsantagande är teckenintervallet det som går att använda. Förutsättningen — oberoende observationer från en kontinuerlig fördelning — är uppfylld. > > > > **Konfidensgrad per $k$.** Med $n = 13$ och $\eta\in\text{Bin}(13,\ 0{,}5)$: > > > > | $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | > > |---|---|---|---|---| > > | $1 - 2P(\eta\le k)$ | $0{,}9998$ | $0{,}9966$ | $0{,}9775$ | $0{,}9077$ | > > > > $k = 2$ ger $97{,}8\ \%$, det närmaste vi kommer $98\ \%$. Intervallet blir $[\xi_{(3)},\ \xi_{(11)}]$: stryk de två minsta och de två största mätvärdena. > > > > **Resultat.** Med bokens mätvärden blir intervallet $\boxed{[0{,}501;\ 0{,}511]}$ med konfidensgrad $97{,}8\ \%$. > > > > **Jämförelse.** Med normalfördelningsantagande blev $98\ \%$-intervallet $[0{,}502;\ 0{,}514]$, se [[t-fördelningen]]. Intervallen mäter olika saker — median respektive väntevärde — men för en normalfördelning sammanfaller de. > > > > *Uppgiften (Vännman 8.19 b, i 2:a uppl. 8.20 b) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och intervallet och konfidensgraderna stämmer med det. Mätvärdena finns inte i valvet.* --- ## Se även - [[Konfidensintervall]] - [[Binomialfördelning]] - [[Statistisk inferens]] - [[Median och kvantiler]] ## Resurser - [Wikipedia: Sign test](https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_test) - [Wikipedia: Order statistic](https://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic) --- ← [[Punktskattning]] · [[S0008M]] · [[Konfidensintervall]] →