---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - sats
förkunskaper:
  - "[[Oberoende händelser]]"
  - "[[Binomialkoefficient]]"
status: utkast
aliases:
  - Sats 2.8
  - Upprepade oberoende försök
  - Binomialsannolikheter
  - Bernoulliförsök
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Oberoende händelser]], [[Binomialkoefficient]]

---

Upprepar vi samma delförsök $n$ gånger oberoende av varandra, och händelsen $A$ har samma sannolikhet $p$ varje gång, är sannolikheten att $A$ inträffar exakt $k$ gånger $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Resultatet bär upp hela binomialfördelningen.

---

## 1. Oberoende upprepningar av ett delförsök

Ett slumpförsök kan ofta ses som en upprepning av $n$ likadana **delförsök**, där händelserna i de olika delförsöken är [[Oberoende händelser|oberoende]]. Vi säger då att försöket består av **$n$ oberoende upprepningar av ett delförsök**. Att kasta en tärning fem gånger är ett sådant försök; delförsöket är ett kast.

---

## 2. Resonemanget

Kasta en tärning 5 gånger och sök sannolikheten att få exakt 3 ettor. Låt $A$ = etta i ett kast, så $P(A) = 1/6$.

Varje kastserie med exakt 3 ettor är en följd som $AAAA^cA^c$ eller $AA^cAA^cA$. Två saker räknas:

- **Hur många följder?** Lika många som sätten att placera 3 stycken $A$ på 5 platser, alltså $\binom53$ enligt [[Binomialkoefficient|Sats 2.1]].
- **Hur sannolik är var och en?** På grund av oberoendet multipliceras sannolikheterna: $(1/6)^3(5/6)^2$, samma för alla följder.

Alltså

$$
P(\text{exakt 3 ettor}) = \binom53\left(\dfrac16\right)^3\left(\dfrac56\right)^2 \approx 0{,}032
$$

---

## 3. Sats 2.8

Ersätt tärningskastet med ett godtyckligt delförsök och ettan med en godtycklig händelse $A$.

**Sats 2.8.** Betrakta ett försök som består av $n$ oberoende upprepningar av ett delförsök, och låt $A$ vara en händelse som inträffar vid varje delförsök med sannolikheten $p$. Då är sannolikheten att $A$ inträffar exakt $k$ gånger i försöket

$$
\boxed{P(A_k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}}
$$

> [!important] Två villkor
> 1. **Samma $p$** i varje upprepning.
> 2. **Oberoende** upprepningar.
>
> Drar vi utan återläggning bryts båda: sannolikheten ändras efter varje dragning, och dragningarna beror av varandra. Då gäller i stället [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen|urnmodellen]].

Sannolikheterna $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ kallas **binomialsannolikheter**, eftersom binomialkoefficienterna ingår. I kapitel 3 får de ett eget namn: [[Binomialfördelning|binomialfördelningen]].

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 3, övning 6 — Fyra sexor på sju kast
> Pitepilten Pelle kastar en symmetrisk tärning 7 gånger. Betrakta kasten som 7 oberoende upprepningar av att kasta en gång. Vad är sannolikheten att han får exakt 4 sexor? Var kommer oberoendeantagandet in? Generalisera sedan till $n$ kast och $k$ sexor, och därefter till en godtycklig händelse $A$ med sannolikhet $p$.
>
> > [!note]- Lösning
> > Låt $A$ = sexa i ett kast, $P(A) = 1/6$.
> >
> > **Antalet följder.** Antalet kastserier med 4 sexor och 3 icke-sexor är antalet sätt att välja vilka 4 av de 7 kasten som ger sexa: $\binom74 = 35$.
> >
> > **Sannolikheten för varje följd.** Här kommer oberoendet in: sannolikheten för en viss följd är produkten av sannolikheterna i varje kast, $(1/6)^4(5/6)^3$.
> > $$
> > P(\text{exakt 4 sexor}) = \binom74\left(\dfrac16\right)^4\left(\dfrac56\right)^3 \approx \boxed{0{,}0156}
> > $$
> >
> > **Generalisering.** Med $n$ kast och $k$ sexor blir samma resonemang $\binom{n}{k}(1/6)^k(5/6)^{n-k}$, och med godtyckligt $A$ och $p$ blir det Sats 2.8 ovan.
> >
> > **På räknaren.** `binomPdf(7,1/6,4)`.
> >
> > *Facit: 0,0156. Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.*

> [!example]- Lektion 3, övning 7 (Vännman 2.43) — Handborrmaskiner
> Vid ett monteringsband på en verkstad finns 10 arbetare. De använder alla under $20\ \%$ av arbetstiden en handborrmaskin. Händelserna att olika arbetare i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin antas vara oberoende. Vad är sannolikheten att minst tre av arbetarna i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin?
>
> > [!note]- Lösning
> > Varje arbetare är en oberoende upprepning med $p = 0{,}2$ och $n = 10$. Låt $A_k$ = exakt $k$ använder sin maskin. Via komplementet "högst 2":
> >
> > ![[lek03-borrmaskiner.png|420]]
> >
> > $$
> > \begin{aligned}
> > P(A_0) &= 0{,}8^{10} \approx 0{,}1074 \\
> > P(A_1) &= \binom{10}{1}0{,}2\cdot0{,}8^{9} \approx 0{,}2684 \\
> > P(A_2) &= \binom{10}{2}0{,}2^2\cdot0{,}8^{8} \approx 0{,}3020
> > \end{aligned}
> > $$
> > $$
> > P(\text{minst 3}) = 1 - (0{,}1074 + 0{,}2684 + 0{,}3020) \approx \boxed{0{,}322}
> > $$
> >
> > **På räknaren.** `binomCdf(10,0.2,3,10)`.
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 2.42 = 3:e uppl. 2.43): 0,32.*

---

## Se även

- [[Oberoende händelser]]
- [[Binomialkoefficient]]
- [[Binomialfördelning]]
- [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: Binomial distributions](https://youtu.be/8idr1WZ1A7Q) — samma räkning som här, med bra intuition för varför binomialkoefficienten dyker upp
- [Wikipedia: Bernoulli trial](https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_trial)

---

← [[Oberoende händelser]] · [[S0008M]] · [[Stokastisk variabel]] →