---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - definition
förkunskaper:
  - "[[Stokastisk variabel]]"
status: utkast
aliases:
  - Sannolikhetsfunktionen
  - Punktsannolikhet
  - Probability mass function
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Stokastisk variabel]]

---

Sannolikhetsfunktionen till en diskret stokastisk variabel anger sannolikheten för varje enskilt värde, $p_\xi(x) = P(\xi = x)$. Den kan ses som en massfördelning på reella axeln: massan $P(\xi = x)$ i varje punkt, med totalmassan $1$.

---

## 1. Definitionen

För en diskret [[Stokastisk variabel|stokastisk variabel]] $\xi$ som kan anta värdena $x_1, x_2, \dots$ är **sannolikhetsfunktionen**

$$
\boxed{p_\xi(x) = P(\xi = x)}
$$

Den är noll för alla $x$ som $\xi$ inte kan anta. Vi skriver ofta bara $p(x)$ när det är tydligt vilken variabel som avses.

---

## 2. Två egenskaper

Varje sannolikhetsfunktion uppfyller

$$
p_\xi(x) \ge 0 \quad\text{för alla } x, \qquad\qquad \sum_{x} p_\xi(x) = 1
$$

där summan tas över alla värden $\xi$ kan anta. Den andra egenskapen är ett bra kontrollsteg: har vi räknat fram en hel sannolikhetsfunktion ska värdena summera till $1$.

---

## 3. Massfördelning och stolpdiagram

> [!tip] Sannolikhet som massa på reella axeln
> Placera massan $P(\xi = x)$ i punkten $x$ på tallinjen. Den totala massan är $1$. Sannolikheten att $\xi$ hamnar i en mängd $A$ är massan som ligger där:
> $$
> P(\xi\in A) = \sum_{x\in A} p_\xi(x)
> $$

Vi ritar sannolikhetsfunktionen som ett **stolpdiagram**, en stolpe per möjligt värde med höjden $p_\xi(x)$. Från stolpdiagrammet kan vi läsa av [[Mest sannolika värde|det mest sannolika värdet]] (högsta stolpen) och uppskatta [[Väntevärde|väntevärdet]] (masscentrum).

Summerar vi stolparna från vänster får vi [[Fördelningsfunktion|fördelningsfunktionen]] $F_\xi(x) = P(\xi\le x)$.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 4, övning 2 — Sökningar mot en databas
> I ett rum står 5 datorer uppkopplade mot en server. Under $20\ \%$ av tiden gör var och en sökningar i en databas, oberoende av varandra. Låt $\xi$ = antal sökningar som pågår samtidigt vid en given tidpunkt. Vilka värden kan $\xi$ anta? Bestäm sannolikhetsfunktionen $P(\xi = x)$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Värden.** Mellan ingen och alla fem datorer kan söka samtidigt, så $\xi$ kan anta värdena $0, 1, 2, 3, 4, 5$.
> >
> > **Sannolikhetsfunktion.** Varje dator är en [[Oberoende upprepningar|oberoende upprepning]] där "söker" har sannolikheten $0{,}2$. Sats 2.8 ger
> > $$
> > \boxed{P(\xi = x) = \binom5x\,0{,}2^x\,0{,}8^{5-x}, \qquad x = 0, 1, \dots, 5}
> > $$
> >
> > ![[sannolikhetsfunktion-bin-5-02.png|420]]
> >
> > **Kontroll.** Stolparna summerar till $1$: $0{,}328 + 0{,}410 + 0{,}205 + 0{,}051 + 0{,}006 + 0{,}000 = 1{,}000$.
> >
> > *Facit: $\xi$ kan anta 0, 1, …, 5 och $P(\xi = x) = \binom5x 0{,}2^x 0{,}8^{5-x}$.*

---

## Se även

- [[Stokastisk variabel]]
- [[Fördelningsfunktion]]
- [[Binomialfördelning]]
- [[Väntevärde]]
- [[Frekvensfunktion]]

## Resurser

- [Khan Academy: Random variables](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library)
- [Wikipedia: Probability mass function](https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_mass_function)

---

← [[Stokastisk variabel]] · [[S0008M]] · [[Fördelningsfunktion]] →