--- kurs: - S0008M tags: - matematik - sannolikhetslära - grundbegrepp förkunskaper: - "[[Stokastisk variabel]]" - "[[Integraler]]" status: utkast aliases: - Kontinuerlig fördelning - Kontinuerlig stokastisk variabel - Rektangelfördelning --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Stokastisk variabel]], [[Integraler]] --- En kontinuerlig stokastisk variabel kan anta alla värden i ett intervall, och sannolikheten för ett enskilt värde är därför noll. I stället beskrivs fördelningen av en [[Frekvensfunktion|frekvensfunktion]], där sannolikheten för ett intervall ges av arean under kurvan. > [!example]- Exempel 1 — väntetid på tunnelbanan > En person anländer till en tunnelbanestation. Tågen går var tionde minut, men personen har varken tidtabell eller klocka. Låt $\xi$ vara väntetiden tills tåget avgår. > > Då gäller att $0\leq \xi<10$, och alla värden i intervallet $[0,10)$ kan antas. --- ## 1. Sannolikheten för ett enskilt värde är noll För en kontinuerlig stokastisk variabel gäller $$ \boxed{\;P(\xi=x)=0\quad\text{för alla }x\;} $$ Vi kan alltså inte använda sannolikhetsfunktionen $P(\xi=x)$, som vi använde för att beskriva diskreta fördelningar, se [[Sannolikhetsfunktion]]. Det finns oändligt många utfall, och därför går det inte att tilldela varje enskilt utfall ett sannolikhetstal skilt från noll. --- ## 2. Frekvensfunktionen I stället integrerar vi en frekvensfunktion $f$ över det intervall vi är intresserade av: $$ P(a\leq \xi\leq b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx $$ Följande gäller: - $f(x)\geq 0$ - $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$ Definitionen, egenskaperna och sambandet med fördelningsfunktionen finns samlade i noten om frekvensfunktionen — där bor också den inramade formeln. > [!tip] Olikheterna spelar ingen roll > För en kontinuerlig stokastisk variabel kan man slarva med $<$ och $\leq$, eftersom ändpunkterna var för sig har sannolikhet noll: > $$ > P(a<\xi $$ --- ## 3. Fördelningsfunktionen Diskreta fördelningar ger en trappfunktion, medan $F(x)$ för en kontinuerlig fördelning är en jämn kurva. ![[kont-trappa-vs-jamn.png|560]] > "Om man har fördelningsfunktionen är livet underbart" — Adam > [!example]- Exempel 2 — sannolikhet ur fördelningsfunktionen > Vi har en kontinuerlig fördelning och söker sannolikheten att $\xi$ hamnar mellan $2$ och $5$. > > ![[kont-area-vs-F.png|560]] > > > [!note]- Lösning > > Arean under frekvensfunktionen mellan $2$ och $5$ är precis det som $F$ hunnit växa på samma sträcka: > > $$ > > P(2\leq\xi\leq5)=P(\xi\leq 5)-P(\xi\leq 2)=\boxed{F(5)-F(2)} > > $$ --- ## 4. Tre vanliga kontinuerliga fördelningar ### Rektangelfördelning En fördelning som används när alla värden i ett intervall är lika sannolika. $$ f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{för }a\leq x\leq b,\qquad f(x)=0\ \text{ för övriga }x $$ Alla delintervall med samma längd är lika sannolika: $P(c\le\xi\le d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ för $a\le c\le d\le b$. Fördelningen kallas också likformig fördelning, och är den kontinuerliga motsvarigheten till den [[Likformig fördelning|diskreta likformiga fördelningen]]. $$ E(\xi) = \frac{a+b}{2}, \qquad V(\xi) = \frac{(b-a)^2}{12} $$ ### Exponentialfördelning Det som redan har hänt ändrar inte fördelningen för den återstående väntetiden — till exempel vid radioaktivt sönderfall. $$ \xi\in \text{Exp}(\lambda),\qquad \lambda>0 $$ $$ P(\xi>t+h\mid\xi>t)=P(\xi>h) $$ $$ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{för }x\geq 0,\qquad f(x)=0\ \text{ för }x<0 $$ $$ E(\xi) = \frac1\lambda, \qquad V(\xi) = \frac{1}{\lambda^2} $$ Mer i [[Exponentialfördelning]]. ### Normalfördelning Den mest kända av alla fördelningar, klockformad och symmetrisk kring $\mu$: $$ \xi\in N(\mu,\sigma), \qquad f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}, \quad -\infty [!example]- Lektion 6, övning 8 — Plats för en bil till? > På en gatstump av längden 13 m parkeras slumpmässigt en bil av längden 5 m. Vad är sannolikheten att ytterligare en bil av samma längd får plats? Vilka antaganden gör du? > > > [!note]- Lösning > > **Antaganden.** Båda bilarna är exakt 5 m långa, och den första bilen ställs "på måfå": alla lägen där den ryms är lika sannolika. > > > > **Modell.** Låt $\xi$ = avståndet från gatstumpens början till bilens bakre ände. Bilen upptar $[\xi,\ \xi + 5]$ och ska rymmas inom $[0,\ 13]$, så $0\le\xi\le 8$. Antagandet ger en rektangelfördelning på $[0,\ 8]$: > > $$ > > f(x) = \dfrac18, \quad 0\le x\le 8, \qquad f(x) = 0 \ \text{annars} > > $$ > > > > **När får en bil till plats?** Antingen före den första bilen, vilket kräver $\xi\ge 5$, eller efter den, vilket kräver $13 - (\xi + 5)\ge 5$, alltså $\xi\le 3$. De två fallen är disjunkta: > > $$ > > P(\text{plats}) = P(0\le\xi\le 3) + P(5\le\xi\le 8) = \int_0^3 \dfrac18\,dx + \int_5^8 \dfrac18\,dx = \dfrac38 + \dfrac38 = \boxed{0{,}75} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** Den första bilen blockerar bara när den står i mitten, $3 < \xi < 5$, alltså en fjärdedel av det möjliga intervallet. > > > > *Uppgiften (Vännman 4.12) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaret stämmer med det.* --- ## Se även - [[Stokastisk variabel]] - [[Frekvensfunktion]] - [[Fördelningsfunktion]] - [[Exponentialfördelning]] - [[Median och kvantiler]] - [[Väntevärde]] - [[Varians och standardavvikelse]] - [[Integraler]] ## Resurser - [Khan Academy: Continuous random variables](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library/random-variables-continuous/v/probability-density-functions) - [Wikipedia: Kontinuerlig sannolikhetsfördelning](https://sv.wikipedia.org/wiki/Sannolikhetsf%C3%B6rdelning) --- ← [[Varians och standardavvikelse]] · [[S0008M]] · [[Frekvensfunktion]] →