---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Fördelningsfunktion]]"
  - "[[Frekvensfunktion]]"
status: utkast
aliases:
  - Median
  - Kvantil
  - Kvartil
  - Kvartilavstånd
  - Percentil
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Fördelningsfunktion]], [[Frekvensfunktion]]

---

Medianen är det värde som delar sannolikhetsmassan i två lika stora delar. Mer allmänt anger en kvantil var en viss andel av massan har passerats, och kvartilavståndet mäter hur utspridd den mittersta hälften av fördelningen är.

---

## 1. Medianen

För en [[Kontinuerliga stokastiska variabler|kontinuerlig stokastisk variabel]] $\xi$ är **medianen** $m$ det värde som uppfyller

$$
\boxed{F_\xi(m) = P(\xi\le m) = 0{,}5}
$$

Hälften av sannolikhetsmassan ligger till vänster om $m$ och hälften till höger, så $P(\xi < m) = P(\xi > m) = 0{,}5$. I en figur delar medianen arean under [[Frekvensfunktion|frekvensfunktionen]] i två lika stora delar.

![[median-kvartiler-exp.png|520]]

För $\text{Exp}(1)$ är medianen $m = \ln 2 \approx 0{,}69$ men väntevärdet $1$: den långa svansen åt höger drar väntevärdet med sig.

Medianen är ett **lägesmått**, precis som [[Väntevärde|väntevärdet]]. För en symmetrisk fördelning sammanfaller de; för en sned fördelning drar en lång svans väntevärdet med sig, men inte medianen.

---

## 2. Kvantiler

Medianen är ett specialfall av en **kvantil**: det värde $x$ där fördelningsfunktionen har nått en viss nivå. De vanligaste är

| Kvantil | Uppfyller |
|---|---|
| nedre kvartilen | $F_\xi(x) = 0{,}25$ |
| medianen | $F_\xi(x) = 0{,}50$ |
| övre kvartilen | $F_\xi(x) = 0{,}75$ |

För att hitta en kvantil löser vi ekvationen $F_\xi(x) = q$ för $x$. På räknaren gör `invNorm(q,μ,σ)` just det för normalfördelningen.

> [!note] Övre kvantiler i inferensdelen
> För $N(0,1)$ och $t$-fördelningen använder kursen i stället **övre** kvantiler: $\lambda_\alpha$ är det värde som har sannolikheten $\alpha$ *till höger* om sig, $P(\xi > \lambda_\alpha) = \alpha$. Det är samma sak som att $F(\lambda_\alpha) = 1 - \alpha$.

---

## 3. Kvartilavståndet

Skillnaden mellan övre och nedre kvartilen kallas **kvartilavståndet**:

$$
\boxed{\text{kvartilavstånd} = x_{0{,}75} - x_{0{,}25}}
$$

där $x_q$ betecknar lösningen till $F_\xi(x) = q$. Det är ett **spridningsmått**, precis som [[Varians och standardavvikelse|standardavvikelsen]]: det mellersta halvan av massan ligger inom ett intervall av den längden.

> [!tip] Samma mått som i beskrivande statistik
> Median, kvartiler och kvartilavstånd för en stokastisk variabel är fördelningens motsvarighet till de mått vi räknar på ett datamaterial i laboration 1, med Tukeys definitioner; se [[Beskrivande statistik]]. Där räknar vi på observerade värden; här är det egenskaper hos modellen.

> [!example]- Exempel — Median och kvartiler för $f(x) = 2x$
> $\xi$ har frekvensfunktionen $f_\xi(x) = 2x$ för $0\le x\le 1$ och $0$ annars. Bestäm medianen, kvartilerna och kvartilavståndet, och jämför medianen med väntevärdet.
>
> > [!note]- Lösning
> > Fördelningsfunktionen på $[0,1]$ är
> > $$
> > F_\xi(x) = \int_0^x 2t\,dt = x^2
> > $$
> > Varje kvantil löser $x^2 = q$, alltså $x_q = \sqrt q$:
> > $$
> > x_{0{,}25} = \boxed{0{,}5}, \qquad m = x_{0{,}5} = \dfrac{1}{\sqrt2}\approx\boxed{0{,}707}, \qquad x_{0{,}75} = \dfrac{\sqrt3}{2}\approx\boxed{0{,}866}
> > $$
> > $$
> > \text{kvartilavstånd} = 0{,}866 - 0{,}5 \approx \boxed{0{,}366}
> > $$
> > Väntevärdet är $E(\xi) = \int_0^1 2x^2\,dx = 2/3\approx 0{,}667$, alltså lite mindre än medianen. Massan ligger tätast nära $1$, och den tunnare svansen mot $0$ drar väntevärdet åt vänster.
> >
> > **På räknaren.** `solve(x^2=0.75,x)` ger båda rötterna $\pm 0{,}866$; bara den i $[0,1]$ gäller.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **Lösa $f(x) = 0{,}5$ i stället för $F(x) = 0{,}5$.** Medianen hittas med fördelningsfunktionen, inte frekvensfunktionen.
> - **Behålla fel rot.** Ekvationen $F(x) = q$ kan ha lösningar utanför definitionsmängden; välj den där $F$ faktiskt gäller.
> - **Övre och nedre kvantil.** $\lambda_{0{,}05}$ i inferensdelen har $0{,}05$ *till höger*, alltså $F(\lambda_{0{,}05}) = 0{,}95$.

---

## Se även

- [[Fördelningsfunktion]]
- [[Frekvensfunktion]]
- [[Väntevärde]]
- [[Varians och standardavvikelse]]
- [[Mest sannolika värde]]
- [[Teckenintervall]]

## Resurser

- [Wikipedia: Kvantil](https://sv.wikipedia.org/wiki/Kvantil)
- [Wikipedia: Interquartile range](https://en.wikipedia.org/wiki/Interquartile_range)

---

← [[Standardiserad normalfördelning]] · [[S0008M]] · [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]] →