SANSTAT - formelsammling

Def 2.1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen

$P(A)=\frac{g}{m}$

Där:

• g är gynsamma utfall
• m är möjliga utfall

Def 2.2 Multiplikationsprincipen

$n_1\ast n_2\ast \cdots \ast n_{k-1}\ast n_k$

Om man genomför $k$ antal operationer, och varje operation har $n$ antal möjliga utfall så kan man multiplicera dessa möjliga utfall för att få totala mängden möjliga utfall

Sats 2.1

n \\ k \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Antalet möjliga sätt att välja ut $k$ antalet element bland $n$ element utan återläggning mellan dragningarna och utan hänsyn till inebördens ordning bland de utvalda element

Def 2.3

En funktion $P$ som till varje händelse $A$ i ett utfallsrum $\Omega$ ordnar ett reelt tal $P(A)$ sägs vara ett sannolikhetsmått om $P$ har en av följande egenskaper

• $0\le P(A)\le 1$ för alla $A$
• $P(\Omega )=1$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ om $A$ och $B$ är disjunkta, dvs. inte kan inträffa samtidigt

Sats 2.3

Följande gäller: $P(A^C)=1-P(A)$

Sats 2.4

Följande gäller: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Betingad

Def 2.4

med den betingade sannolikheten $P(A|B)$ för händelsen $A$, givet att $B$, menas: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Sats 2.7 Lagen om total sannolikhet

Antag att häldelserna $B_1,B_2,\dots ,B_n$ är disjunkta och tillsamman utgör hela utfallsrummet. Då gäller för varje händelse $A$ att

$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\cdots +P(B_n)P(A|B_n)$

Oberoende

Def 2.5 (sid: 70)

Om $P(A\cap B)=P(A)\ast P(B)$, säger vi att $A$ och $B$ är oberoende händelser

Sats 2.8 (sid: 74)

Betrakta ett försök bestående av $n$ oberoende upprepningar av delförsök. Låt en händelse som inträffar vid delförsöket med sannolikhet $p$. Då är sannolikheten att $A$ inträffar exakt $k$ gånger i försöket

n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$$

Diskreta fördelningar

Def 2.5 (sid: 70)

Utfallet i ett slumpmässigt försök i form av ett $\mathbb{R}$eelt tal, betrakta innan försöket är utfört försöket kallas observat värde på den stokastiska va