---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - sannolikhetslära
  - fördelning
förkunskaper:
  - "[[Binomialfördelning]]"
status: utkast
aliases:
  - Poissonfördelning
  - Poissonfördelningen
  - Po(lambda)
  - Poisson distribution
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Binomialfördelning]]

---

Poissonfördelningen beskriver antalet sällsynta, oberoende händelser under en viss tid eller i ett visst område, till exempel samtal till en växel per minut eller fel per meter kabel. Den har bara en parameter, väntevärdet $\lambda$.

---

## 1. Sannolikhetsfunktionen

Poissonfördelningen räknar **antalet händelser i ett fixt intervall** — per sekund, per kvadratmeter, per produktionsparti. Låt $\xi$ vara det antalet och $\lambda$ den genomsnittliga intensiteten. Då är $\xi\in\text{Po}(\lambda)$ med

$$
\boxed{P(\xi = k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}, \qquad k = 0,1,2,\dots}
$$

Till skillnad från [[Binomialfördelning|binomialfördelningen]] finns ingen övre gräns för $k$: vi räknar händelser, inte lyckade försök av ett fixt antal.

> [!important] Tre antaganden
> 1. **Konstant intensitet** $\lambda$ över hela intervallet.
> 2. **Oberoende** — en händelse påverkar inte sannolikheten för nästa.
> 3. **Inga sammanfallande händelser** — två inträffar aldrig exakt samtidigt.

---

## 2. Väntevärde, varians och kopplingen till binomialfördelningen

$$
\boxed{E(\xi) = V(\xi) = \lambda}
$$

Att väntevärde och varians sammanfaller är fördelningens signum: har ett datamaterial ungefär lika stort medelvärde som varians är Poisson en rimlig första modell.

Fördelningen uppstår som **gränsfall av binomialfördelningen** när $n\to\infty$ och $p\to 0$ med produkten $np = \lambda$ konstant (härledningen nedan). Det förklarar dess räckvidd: många möjliga tillfällen, försumbar sannolikhet var för sig, måttligt förväntat antal. Summan av oberoende Poissonvariabler är dessutom själv Poissonfördelad, med $\lambda$ adderade — därför spelar det ingen roll om vi räknar per sekund eller per minut, bara $\lambda$ skalas med.

> [!note]- Härledning: Poisson som gränsfall av binomialfördelningen
> Sätt $p = \lambda/n$ i binomialfördelningen och låt $n\to\infty$ med $k$ fixt:
> $$
> \binom{n}{k}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}
> = \dfrac{\lambda^k}{k!}\cdot\underbrace{\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}}_{\to\,1}\cdot\underbrace{\left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{\to\,e^{-\lambda}}\cdot\underbrace{\left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to\,1}
> \;\longrightarrow\; \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
> $$
> Mittfaktorn går mot $e^{-\lambda}$ enligt standardgränsvärdet $(1 + x/n)^n\to e^x$, se [[Gränsvärden]]. Samma gränsövergång ger $E = np = \lambda$ och $V = np(1-p)\to\lambda$.

> [!example]- Exempel — sönderfall i en detektor
> Ett preparat ger i genomsnitt $4$ registrerade sönderfall per sekund. Vad är sannolikheten att exakt $2$ registreras under en given sekund?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Setup.** Sönderfall är oberoende och intensiteten konstant, så $\xi\in\text{Po}(4)$ med $\lambda = 4$ och vi söker $k = 2$.
> >
> > **Räkningen.**
> > $$
> > P(\xi = 2) = \dfrac{4^2}{2!}e^{-4} = 8e^{-4} \approx \boxed{0{,}147}
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** Väntevärdet är $4$ och $\sigma = \sqrt{4} = 2$, så $k=2$ ligger en standardavvikelse under medelvärdet — en dryg tiondel av massan är rimligt där. Binomialmodellen $\text{Bin}(1000,\ 0{,}004)$, alltså många små sönderfallschanser med samma $np = 4$, ger $0{,}146$. Gränsövergången stämmer.
> >
> > **På räknaren.** `poissPdf(4,2)`.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

![[poisson-fordelning.png|560]]

Till vänster detektorexemplet, med $k=2$ markerat strax under toppen vid $\lambda=4$. Till höger syns hur fördelningen ändrar karaktär med $\lambda$: vid $\lambda=1$ är den kraftigt högersned med sin massa vid noll, medan den vid $\lambda=10$ har blivit nästan symmetrisk — det är normalapproximationen som börjar gälla.

Radioaktivt sönderfall är standardexemplet just för att antagandena håller exakt — se [[Kärnfysik]].

---

## 3. Approximationer

| Villkor | Approximation |
|---|---|
| $\xi\in\text{Bin}(n,p)$ med $p\le 0{,}1$ och $n\ge 10$ | $\xi\approx\text{Po}(np)$ |
| $\xi\in\text{Hyp}(N,n,p)$ med $p + n/N\le 0{,}1$ och $n\ge 10$ | $\xi\approx\text{Po}(np)$ |

Poissontabellen i kursboken ger fördelningsfunktionen $P(\xi\le x)$, precis som `poissCdf(λ,0,x)` på räknaren.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Glömma att skala $\lambda$.** Är intensiteten $4$ per timme blir antalet under $30$ minuter $\text{Po}(2)$, inte $\text{Po}(4)$.
> - **Ta roten ur fel storhet.** $V(\xi) = \lambda$, så standardavvikelsen är $\sqrt\lambda$, inte $\lambda$.
> - **"Minst en" utan komplement.** $P(\xi\ge 1) = 1 - e^{-\lambda}$ är enklast; att summera uppåt tar aldrig slut.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 5, övning 1 — Kunder till ett systembolag
> Antalet kunder som anländer till ett systembolag under en 3-minutersperiod antas vara $\xi\in\text{Po}(4)$. Beräkna sannolikheten att det under en 3-minutersperiod anländer
>
> a) högst 1 kund,
>
> b) minst 1 kund,
>
> c) mer än 5 kunder,
>
> d) exakt 4 kunder.
>
> > [!note]- Lösning
> > $P(\xi = k) = \dfrac{4^k}{k!}e^{-4}$.
> >
> > **a)**
> > $$
> > P(\xi\le 1) = e^{-4}(1 + 4) = 5e^{-4} \approx \boxed{0{,}092}
> > $$
> >
> > **b)** Komplementet till "ingen":
> > $$
> > P(\xi\ge 1) = 1 - e^{-4} \approx \boxed{0{,}982}
> > $$
> >
> > **c)** Komplementet till "högst 5". Tabellen (eller `poissCdf(4,0,5)`) ger $F(5) \approx 0{,}785$:
> > $$
> > P(\xi > 5) = 1 - F(5) \approx \boxed{0{,}215}
> > $$
> >
> > **d)**
> > $$
> > P(\xi = 4) = \dfrac{4^4}{4!}e^{-4} = \dfrac{256}{24}e^{-4} \approx \boxed{0{,}195}
> > $$
> >
> > *Facit: a) 0,092, b) 0,982, c) 0,215, d) 0,195.*

> [!example]- Lektion 4, övning 8 — Fartyg till en hamn
> Antalet fartyg som anländer till en hamn under en dag är Poissonfördelat med $\lambda = 2$.
>
> a) Vad är sannolikheten att fler än 3 fartyg anländer en viss dag?
>
> b) Hur många fartyg måste hamnen ha kapacitet för att med minst $95\ \%$ sannolikhet kunna betjäna alla fartyg som anländer en bestämd dag?
>
> > [!note]- Lösning
> > $\xi$ = antal fartyg en dag, $\xi\in\text{Po}(2)$, $P(\xi = x) = \dfrac{2^x}{x!}e^{-2}$.
> >
> > **a)**
> > $$
> > P(\xi > 3) = 1 - P(\xi\le 3) = 1 - e^{-2}\left(1 + 2 + \dfrac{4}{2} + \dfrac{8}{6}\right) \approx 1 - 0{,}857 = \boxed{0{,}143}
> > $$
> >
> > **b)** Vi söker minsta kapacitet $c$ med $P(\xi\le c)\ge 0{,}95$:
> > $$
> > P(\xi\le 3) \approx 0{,}857, \qquad P(\xi\le 4) \approx 0{,}947, \qquad P(\xi\le 5) \approx 0{,}983
> > $$
> > Fyra räcker inte, fem gör det: kapacitet för $\boxed{5 \text{ fartyg}}$.
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 3.19): a) 0,143, b) 5 fartyg. Uppgiften är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaret stämmer också med det.*

---

## Se även

- [[Binomialfördelning]]
- [[Stokastisk variabel]]
- [[Hypergeometrisk fördelning]]
- [[Kärnfysik]]

## Resurser

- [Khan Academy: Poisson distribution](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library/poisson-distribution)
- [Wikipedia: Poissonfördelning](https://sv.wikipedia.org/wiki/Poissonf%C3%B6rdelning)

---

← [[Hypergeometrisk fördelning]] · [[S0008M]] · [[Likformig fördelning]] →