---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - matematik
  - analys
  - envariabelanalys
  - gränsvärde
förkunskaper:
  - "[[Funktioner]]"
status: true
aliases:
  - Gränsvärden
  - Limit i en variabel
---

> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Funktioner]]

---

## 1. Grunddefinition

Vi skriver

$$
\boxed{\lim_{x\to a} f(x)=L}
$$

om $f(x)$ kan göras godtyckligt nära $L$ genom att välja $x$ tillräckligt nära $a$, men med $x\neq a$.

> [!note]
> Gränsvärdet beror på hur funktionen beter sig **nära** punkten, inte nödvändigtvis på värdet $f(a)$.

> [!example]- Hävbar situation
> För
> $$
> f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}
> $$
> gäller för $x\neq 2$ att $f(x)=x+2$, så
> $$
> \lim_{x\to 2} f(x)=4
> $$
> även om uttrycket inte är definierat i $x=2$.

---

## 2. Räkneregler

Om $\lim_{x\to a} f(x)=L$ och $\lim_{x\to a} g(x)=M$ gäller bland annat:

$$
\lim_{x\to a}(f+g)=L+M,\qquad
\lim_{x\to a}(fg)=LM
$$

och

$$
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\quad\text{om }M\neq 0.
$$

För kontinuerliga funktioner kan man ofta använda direkt insättning.

---

## 3. Ensidiga gränsvärden

De ensidiga gränsvärdena skrivs

$$
\lim_{x\to a^-} f(x),\qquad \lim_{x\to a^+} f(x).
$$

Ett tvåsidigt gränsvärde existerar precis när båda ensidiga existerar och är lika:

$$
\boxed{\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L}
$$

> [!example]- När gränsvärdet inte finns
> För $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ fås
> $$
> \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=1
> $$
> så det tvåsidiga gränsvärdet existerar inte.

---

## 4. Standardgränsvärden

Följande är särskilt viktiga:

$$
\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}
$$

$$
\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1}
$$

$$
\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}
$$

$$
\boxed{\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e}
$$

> [!example]- Typiskt användningsmönster
> $$
> \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}
> =\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot 3
> =3
> $$

---

## 5. Vanliga tekniker

> [!important] Vanliga verktyg
> - faktorisera och förkorta
> - multiplicera med konjugat
> - dela med högsta potens vid $x\to\infty$
> - använd standardgränsvärden
> - använd [[Taylors formel]] eller L'Hôpitals regel när kursen kommit dit

> [!example]- Instängningsregeln
> Eftersom $-1\le \sin(1/x)\le 1$ gäller
> $$
> -|x|\le x\sin(1/x)\le |x|.
> $$
> Båda yttertermerna går mot $0$, alltså
> $$
> \lim_{x\to 0}x\sin(1/x)=0.
> $$

---

## 6. Oegentliga gränsvärden och asymptoter

Om

$$
\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty
$$

har grafen ofta en **vertikal asymptot** $x=a$.

Om

$$
\lim_{x\to \pm\infty} f(x)=L
$$

har grafen en **horisontell asymptot** $y=L$.

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=86|1.2 Limits of Functions]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=95|1.3 Limits at Infinity]]

## Se även

- [[Kontinuitet]]
- [[Derivata]]
- [[Taylors formel]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: Limits](https://youtu.be/kfF40MiS7zA)
- [Wikipedia: Limit of a function](https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function)