Gränsvärdesberäkning med Taylor

Kurs: M0065M Förkunskaper: Gränsvärden, Taylors formel

Istället för att jaga standardgränsvärden kan man ersätta funktioner med sin Taylorutveckling kring $0$ och sedan förkorta.

Vanliga utvecklingar kring $x = 0$

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5}), cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + O (x^{4})

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + O (x^{3}), ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + O (x^{3})

Exempel

$x \to 0 lim \frac{sin x - x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{- x ^{3} /6 + O ( x ^{5} )}{x ^{3}} = - \frac{1}{6}$

Tip

Utveckla bara så högt du behöver. Använd $O (\cdot)$ -notation för att hålla ordning.