Gränsvärdesberäkning med Taylor

Kurs: M0065M Förkunskaper: Gränsvärden, Taylors formel

---

Istället för att jaga standardgränsvärden kan man ersätta funktioner med sin Taylorutveckling kring $0$ och sedan förkorta.

Idén — lägsta potensen vinner

Ett gränsvärde av typen $\left[\frac{0}{0}\right]$ när $x\to 0$ handlar om hur snabbt täljare och nämnare går mot noll. Efter Maclaurinutveckling är båda polynom plus små resttermer, och nära $0$ dominerar den lägsta potensen av $x$. Förkorta med den, så syns gränsvärdet direkt.

---

1. Vanliga utvecklingar kring $x=0$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3),\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$$

Behövs fler termer tas de ur Taylors formel eller ur formelbladet.

---

2. Stora ordo

Vi skriver $f(x)=O(x^n)$ när $x\to 0$ om $f(x)=H(x)x^n$ med $H$ begränsad nära $0$. Det betyder att $f$ går mot noll minst lika snabbt som $x^n$. Resttermen i en Maclaurinutveckling av ordning $n$ är just $O(x^{n+1})$.

Räkneregler (Blomqvist, Sats 9.5.1), för $m\ge n$:

$$O(x^n)\pm O(x^m)=O(x^n),kO(x^n)=O(x^n),x^{m}O(x^n)=O(x^{m+n}),\frac{O(x^m)}{x^n}=O(x^{m-n}).$$

Den lägre potensen “vinner” vid addition, och vid division sjunker exponenten.

Tumregel

Ta med termer till och med samma potens som i nämnaren. Har nämnaren $x^3$ ska täljaren utvecklas till och med $x^3$-termen, och resten skrivas som $O(x^4)$ eller $O(x^5)$.

Exempel

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x^3/6+O(x^5)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{6}+O(x^2)\right)=-\frac{1}{6}$$

Tip

Utveckla bara så högt du behöver. Använd $O(\cdot )$-notation för att hålla ordning.

---

3. Kombinera kända utvecklingar

Att derivera fram en utveckling blir snabbt jobbigt. Oftast är det enklare att sätta in, multiplicera och addera utvecklingar vi redan kan, till exempel

$$e^{-2x}=1-2x+\frac{(-2x{)}^2}{2}+O(x^3)=1-2x+2x^2+O(x^3).$$

Det är tillåtet tack vare entydighetssatsen (Blomqvist, Sats 9.6.1): om

$$f(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_n{x}^n+O(x^{n+1})\text{na¨r }x\to 0,$$

så är $c_0+c_{1}x+\cdots +c_n{x}^n$ Maclaurinpolynomet av ordning $n$ för $f$. Hur vi än kommer fram till en sådan form, blir koefficienterna desamma.

Härledning — entydighetssatsen

Maclaurins formel ger också $f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+O(x^{n+1})$. Sätt de två uttrycken lika.

Låt $x\to 0$: då blir $c_0=f(0)$. Dra bort $c_0$ från båda led, dela med $x\ne 0$ och låt $x\to 0$ igen: då blir $c_1=f^{\prime }(0)$. Upprepar vi proceduren får vi $c_k=f^{(k)}(0)/k!$ för $k=0,1,\dots ,n$.

Udda och jämna funktioner. Är $f$ udda, $f(-x)=-f(x)$, innehåller utvecklingen bara udda potenser; är $f$ jämn bara jämna. Det följer av entydighetssatsen, eftersom utvecklingen av $f(-x)$ fås genom att byta $x$ mot $-x$. Därför är $\tan x=x+b{x}^3+O(x^5)$ utan att vi behöver räkna ut $x^2$- och $x^4$-termerna.

Andra obestämda former. Metoden är gjord för $\left[\frac{0}{0}\right]$, men andra former kan ofta skrivas om till den:

• $[\infty -\infty ]$, till exempel $\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}$: sätt på gemensamt bråkstreck.
• $[1^{\infty }]$ och $[0^0]$: skriv $f(x{)}^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ och beräkna gränsvärdet av exponenten. Se Exponentialfunktioner och logaritmer.

Föreläsning 32 — Gränsvärdet ${\lim }_{x\to 0}(\cos x{)}^{1/x^2}$

Vi beräknar

$$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{1/x^2},$$

som är av typen $[1^{\infty }]$.

Lösning

Skriv om. Nära $0$ är $\cos x>0$, så

$$(\cos x{)}^{1/x^2}=e^{\ln (\cos x)/x^2}.$$

Eftersom $e^t$ är kontinuerlig räcker det att beräkna gränsvärdet av exponenten.

Utveckla $\ln (\cos x)$. Med $g(x)=\ln (\cos x)$ är $g(0)=0$, $g^{\prime }(x)=-\tan x$ så $g^{\prime }(0)=0$, och $g^{\prime \prime }(x)=-1/{\cos }^{2}x$ så $g^{\prime \prime }(0)=-1$. Alltså

$$\ln (\cos x)=-\frac{x^2}{2}+O(x^3).$$

Exponenten.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (\cos x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{2}+O(x)\right)=-\frac{1}{2}.$$

Svar.

$$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{1/x^2}=e^{-1/2}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{e}}}\approx 0,607$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Vanliga fel

• För kort utveckling. Stannar vi innan termerna slutat ta ut varandra står vi kvar med $O(x^n)/x^n$, som inte säger något. Utveckla till nämnarens potens.
• Tro att $O(x^n)-O(x^n)=0$. Två resttermer av samma ordning tar inte ut varandra; differensen är fortfarande $O(x^n)$.
• Glömma gemensamt bråkstreck vid $[\infty -\infty ]$. Utvecklar vi varje term för sig står vi kvar med $\infty -\infty$.
• Blanda ihop ${\sin }^{2}x$ och $\sin x^2$. ${\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2=x^2-\frac{1}{3}{x}^4+\cdots$, medan $\sin (x^2)=x^2-\frac{1}{6}{x}^6+\cdots$

---

4. Lösta övningar

Testuppgift 9.5 d — Ett $[\frac{0}{0}]$-gränsvärde

Vi beräknar med hjälp av Maclaurinutveckling

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{-2x}-\cos x+2\sin x}{{\sin }^{2}x}.$$

Lösning

Nämnaren. ${\sin }^{2}x=(x+O(x^3){)}^2=x^2+O(x^4)$, så vi utvecklar täljaren till och med $x^2$.

Täljaren.

$$(1-2x+2x^2)-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)+2x+O(x^3)=\frac{5}{2}{x}^2+O(x^3).$$

Gränsvärdet.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{5}{2}{x}^2+O(x^3)}{x^2+O(x^4)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{5}{2}+O(x)}{1+O(x^2)}=\boxed{\frac{5}{2}}$$

Facit: $\frac{5}{2}$.

Testuppgift 9.7 — Maclaurinutveckla $\tan x$

Vi Maclaurinutvecklar $\tan x$ med $x$-termer till och med ordning 3, genom att sätta

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=ax+b{x}^3+O(x^5)$$

($\tan x$ är udda).

Lösning

Multiplicera upp. $\sin x=\cos x\cdot \tan x$ ger

$$x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)=\left(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)\right)(ax+b{x}^3+O(x^5))=ax+\left(b-\frac{a}{2}\right)x^3+O(x^5).$$

Jämför koefficienter (entydighetssatsen): $a=1$ och $b-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$, alltså $b=\frac{1}{3}$.

$$\boxed{\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+O(x^5)}$$

Facit: $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+O(x^5)$.

Testuppgift 9.8 — Välj konstanter så att gränsvärdet finns

Vi bestämmer konstanterna $A$ och $B$ så att gränsvärdet

$$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{e^x}{1-\cos x}-\frac{A}{x}-\frac{B}{x^2}\right)$$

existerar, och beräknar gränsvärdet.

Lösning

Gemensamt bråkstreck.

$$\frac{x^2{e}^x-Ax(1-\cos x)-B(1-\cos x)}{x^2(1-\cos x)}.$$

Nämnaren. $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+O(x^6)$, så nämnaren är $\frac{x^4}{2}+O(x^6)$. Täljaren ska utvecklas till och med $x^4$.

Täljaren.

$$x^2\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)-Ax\cdot \frac{x^2}{2}-B\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}\right)+O(x^5)=\left(1-\frac{B}{2}\right)x^2+\left(1-\frac{A}{2}\right)x^3+\left(\frac{1}{2}+\frac{B}{24}\right)x^4+O(x^5).$$

Villkor. För att gränsvärdet ska finnas måste $x^2$- och $x^3$-termerna försvinna, annars går uttrycket mot $\pm \infty$. Det ger $\boxed{A=2,B=2}$.

Gränsvärdet. Med $B=2$ blir $x^4$-koefficienten $\frac{1}{2}+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{7}{12}{x}^4+O(x^5)}{\frac{1}{2}{x}^4+O(x^6)}=\boxed{\frac{7}{6}}$$

Facit: Gränsvärdet blir $\frac{7}{6}$ för $A=2$ och $B=2$.

Läsning

• 4.10 Taylor Polynomials

Se även

• Taylors formel
• Gränsvärden
• Oegentliga gränsvärden
• Exponentialfunktioner och logaritmer