---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - matematik
  - analys
  - envariabelanalys
  - gränsvärde
  - taylor
förkunskaper:
  - "[[Gränsvärden]]"
  - "[[Taylors formel]]"
status: true
aliases:
  - Gränsvärde med Taylor
---
> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Gränsvärden]], [[Taylors formel]]

---

Istället för att jaga standardgränsvärden kan man ersätta funktioner med sin [[Taylorutveckling]] kring $0$ och sedan förkorta.

## Vanliga utvecklingar kring $x=0$

$$
\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5),\quad \cos x=1-\tfrac{x^2}{2}+O(x^4)
$$

$$
e^x=1+x+\tfrac{x^2}{2}+O(x^3),\quad \ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+O(x^3)
$$

> [!example]- Exempel
> $$
> \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}
> =\lim_{x\to 0}\frac{-x^3/6+O(x^5)}{x^3}=-\frac{1}{6}
> $$

> [!tip]
> Utveckla bara så högt du behöver. Använd $O(\cdot)$-notation för att hålla ordning.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=297|4.10 Taylor Polynomials]]

## Se även

- [[Taylors formel]]
- [[Gränsvärden]]