Exponentialfunktioner och logaritmer

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner

Grundtanken

Exponentialfunktionen beskriver tillväxt där ökningen är proportionell mot det som redan finns. Logaritmen är dess invers: den svarar på frågan vilken exponent ger det här talet? och är därför verktyget för att lösa ut en obekant ur en exponent.

1. Exponentialfunktionen

f (x) = a^{x}, a > 0, a \neq = 1

Här är basen $a$ fix och exponenten $x \in R$ , så $D_{f} = R$ . För $a > 0$ , $b > 0$ och $x, y \in R$ gäller potenslagarna

a^{0} = 1, a^{x + y} = a^{x} a^{y}, a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}, a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}, (a^{x})^{y} = a^{x y}, (ab)^{x} = a^{x} b^{x} .

$a > 1$ : $a^{x}$ är strängt växande.
$0 < a < 1$ : $a^{x}$ är strängt avtagande.
$a = 1$ : $1^{x} = 1$ är konstant (därför undantas $a = 1$ ).

I de två första fallen är $V_{f} = (0, \infty)$ : en exponentialfunktion är alltid positiv.

Alla exponentialfunktioner $a^{x}$ går genom $(0, 1)$ . Talet $e$ är den bas där lutningen där är exakt $1$ .

Talet $e$ . Ju större bas $a > 1$ , desto brantare är tangenten till $y = a^{x}$ i punkten $(0, 1)$ . Det finns precis ett värde på $a$ som gör lutningen där lika med $1$ ; det kallas $e$ . Den naturliga exponentialfunktionen är $e^{x}$ , där $e \approx 2, 718$ .

2. Logaritmen

Eftersom $a^{x}$ är strängt monoton för $a > 0$ , $a \neq = 1$ , är den injektiv och har en invers. Logaritmen är invers till exponentialfunktionen:

y = a^{x} ⟺ x = lo g_{a} y

Den naturliga logaritmen är $ln x = lo g_{e} x$ , och tiologaritmen skrivs $l g x = lo g_{10} x$ .

$ln x$ är inversen till $e^{x}$ , så graferna är speglingar av varandra i $y = x$ .

Eftersom definitions- och värdemängd byter plats vid invertering är

D_{l o g_{a}} = (0, \infty), V_{l o g_{a}} = R,

och kancelleringslagarna blir

lo g_{a} (a^{x}) = x f \overset{o}{¨} r alla x \in R, a^{l o g_{a} x} = x f \overset{o}{¨} r x > 0.

Speciellt är $ln 1 = 0$ och $ln e = 1$ .

Exempel — Tre ekvationer (föreläsning 7)

Vi löser ekvationerna

a) $5^{3 x} = 6$ b) $ln x = ln x$ c) $e^{2 x} + 3 e^{x} - 4 = 0$ .

Lösning

a) Vi logaritmerar: $ln 5^{3 x} = ln 6 ⟺ 3 x ln 5 = ln 6$ , alltså
$x = \frac{ln 6}{3 ln 5} \approx 0, 371.$
b) Vi kräver $x > 0$ och $ln x \geq 0$ . Högerledet är $ln x^{1/2} = \frac{1}{2} ln x$ . Med $t = ln x$ blir ekvationen $t = \frac{t}{2}$ , och kvadrering ger $t = \frac{t ^{2}}{4} ⟺ t (t - 4) = 0$ . Alltså $t = 0$ eller $t = 4$ , och båda uppfyller $t \geq 0$ och $t = \frac{t}{2}$ :
$x = 1 eller x = e^{4}$
c) Med $t = e^{x} > 0$ blir ekvationen $t^{2} + 3 t - 4 = (t - 1) (t + 4) = 0$ . Roten $t = - 4$ förkastas eftersom $e^{x} > 0$ , så $t = 1$ och
$x = 0$
Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

3. Räkneregler

För $x > 0$ , $y > 0$ och $a > 0$ , $a \neq = 1$ gäller

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y, lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y, lo g_{a} (x^{p}) = p lo g_{a} x

och speciellt $lo g_{a} 1 = 0$ och $lo g_{a} \frac{1}{x} = - lo g_{a} x$ . För den naturliga logaritmen är det samma regler:

ln (x y) = ln x + ln y, ln (x^{p}) = p ln x, ln \frac{x}{y} = ln x - ln y

Härledning

Varje logaritmlag är en potenslag läst baklänges.

Produkt. Sätt $u = lo g_{a} x$ och $v = lo g_{a} y$ , alltså $x = a^{u}$ och $y = a^{v}$ . Då är $x y = a^{u} a^{v} = a^{u + v}$ , och därmed $lo g_{a} (x y) = u + v = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ .

Kvot. Med samma $u, v$ är $\frac{x}{y} = \frac{a ^{u}}{a ^{v}} = a^{u - v}$ , så $lo g_{a} \frac{x}{y} = u - v$ .

Potens. Med $u = lo g_{a} x$ är $x^{p} = (a^{u})^{p} = a^{u p}$ , så $lo g_{a} x^{p} = u p = p lo g_{a} x$ .

Ett. $a^{0} = 1 ⟺ lo g_{a} 1 = 0$ .

Exempel — Förenkla (föreläsning 7)

Vi förenklar $2 ln 5 + 3 ln 3 - ln 75$ .

Lösning

$2 ln 5 + 3 ln 3 - ln 75 = ln 5^{2} + ln 3^{3} - ln (3 \cdot 5^{2}) = ln \frac{5 ^{2} \cdot 3 ^{3}}{3 \cdot 5 ^{2}} = ln 3^{2} = 2 ln 3$
Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

4. Basbyte

lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a} speciellt lo g_{a} x = \frac{ln x}{ln a}

Härledning

Sätt $u = lo g_{a} x$ , alltså $x = a^{u}$ . Logaritmera i bas $b$ : $lo g_{b} x = lo g_{b} a^{u} = u lo g_{b} a$ . Division med $lo g_{b} a$ (som är $\neq = 0$ eftersom $a \neq = 1$ ) ger $u = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$ .

Basbytet är det som låter oss slå ihop logaritmer i olika baser, till exempel $lo g_{9} x = \frac{lo g _{3} x}{lo g _{3} 9} = \frac{lo g _{3} x}{2}$ , och det ger identiteten $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ .

Vanliga fel

$ln (x + y) \neq = ln x + ln y$ . Logaritmen gör om produkter till summor, inte summor till något enklare.

Falska rötter. Logaritmlagarna gäller bara för positiva argument. Skriver vi $lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x - 1) = lo g_{2} (x^{2} - 1)$ vidgar vi definitionsmängden, och roten $x = - 3$ av den nya ekvationen måste förkastas. Ange därför villkoret (här $x > 1$ ) innan du räknar och pröva rötterna mot det.

$ln (x^{2}) = 2 ln x$ för alla $x$ . Det gäller bara för $x > 0$ . För $x \neq = 0$ är $ln (x^{2}) = 2 ln ∣ x ∣$ .

$(ln x)^{2}$ och $ln (x^{2})$ blandas ihop. Det första är en kvadrat av en logaritm, det andra är $2 ln x$ (för $x > 0$ ).

5. Lösta övningar

Föreläsning 8, exempel — En logaritmekvation med falsk rot

Vi löser ekvationen $lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x - 1) = 3$ .

Lösning

Villkor. Båda logaritmerna är definierade bara om $x + 1 > 0$ och $x - 1 > 0$ , alltså $x \in (1, \infty)$ .

Slå ihop. $lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x - 1) = lo g_{2} (x^{2} - 1) = 3$ ger $x^{2} - 1 = 2^{3} = 8$ , alltså $x^{2} = 9$ och $x = \pm 3$ .

Pröva mot villkoret. $- 3 \in / (1, \infty)$ , så
$x = 3$
Kontroll. $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 2 = 2 + 1 = 3$ .

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 8, exempel — En kvot av tiologaritmer

Vi löser ekvationen $\frac{l g 2 x}{l g ( 4 x - 15 )} = 2$ .

Lösning

Villkor. $2 x > 0$ och $4 x - 15 > 0$ ger $x > \frac{15}{4}$ . Dessutom får nämnaren inte vara noll: $l g (4 x - 15) = 0 ⟺ 4 x - 15 = 1 ⟺ x = 4$ . Alltså $x \in (\frac{15}{4}, \infty)$ , $x \neq = 4$ .

Lös. $l g 2 x = 2 l g (4 x - 15) = l g (4 x - 15)^{2}$ , och eftersom $l g$ är injektiv är
$2 x = (4 x - 15)^{2} = 16 x^{2} - 120 x + 225 ⟺ 16 x^{2} - 122 x + 225 = 0.$
Med $6 1^{2} - 1 5^{2} \cdot 4^{2} = 6 1^{2} - 6 0^{2} = 121$ blir
$x = \frac{61 \pm 121}{16} = \frac{61 \pm 11}{16} \in {\frac{9}{2}, \frac{25}{8}} .$
Pröva mot villkoret. $\frac{25}{8} < \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$ förkastas, medan $\frac{9}{2} = \frac{18}{4} > \frac{15}{4}$ duger:
$x = \frac{9}{2}$
Kontroll. $\frac{l g 9}{l g 3} = \frac{2 l g 3}{l g 3} = 2$ .

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 8, exempel — Exponentialekvation med substitution

Vi löser ekvationen $2 \cdot 9^{x} - 5 \cdot 6^{x} + 3 \cdot 4^{x} = 0$ .

Lösning

Dela med $4^{x} > 0$ .
$2 (\frac{9}{4})^{x} - 5 (\frac{6}{4})^{x} + 3 = 0.$
Substitution. Eftersom $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ och $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^{2}$ sätter vi $t = (\frac{3}{2})^{x} > 0$ , så att $t^{2} = (\frac{9}{4})^{x}$ :
$2 t^{2} - 5 t + 3 = (2 t - 3) (t - 1) = 0 ⟺ t = \frac{3}{2} eller t = 1.$
Båda är positiva. $(\frac{3}{2})^{x} = \frac{3}{2}$ ger $x = 1$ och $(\frac{3}{2})^{x} = 1$ ger $x = 0$ :
$x = 0 eller x = 1$
Kontroll. $x = 0$ : $2 - 5 + 3 = 0$ . $x = 1$ : $18 - 30 + 12 = 0$ .

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Pelles Moln

Utforskare

Exponentialfunktioner och logaritmer

1. Exponentialfunktionen

2. Logaritmen

3. Räkneregler

4. Basbyte

5. Lösta övningar

Läsning

Se även

Resurser

Innehåll

Grafvy

Bakåtlänkar