Hyperboliska funktioner

Kurs: M0065M Förkunskaper: Exponentialfunktioner och logaritmer

Grundtanken

De hyperboliska funktionerna är enkla kombinationer av $e^x$ och $e^{-x}$ som beter sig nästan som $\sin$ och $\cos$: de har en egen “Pythagoras”, deriverar in i varandra och har inverser som uttrycks med $\ln$. Skillnaden är tecknen — och att de är kopplade till en hyperbel i stället för en cirkel.

---

1. Definitioner

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

Namnen är sinus hyperbolicus och cosinus hyperbolicus. Alla tre är definierade för alla $x\in \mathbb{R}$. Direkt ur definitionerna får vi

$\cosh x\ge 1$ är jämn, $\sinh x$ är udda, och $\tanh x$ har de vågräta asymptoterna $y=\pm 1$.

• $\cosh 0=1$ och $\sinh 0=0$,
• $\cosh (-x)=\cosh x$: $\cosh$ är en jämn funktion,
• $\sinh (-x)=-\sinh x$: $\sinh$ är en udda funktion,
• $\cosh x\ge 1$ för alla $x$, eftersom $e^x+e^{-x}\ge 2$.

Exempel — Förenkla $\cosh (\ln x)$ (föreläsning 8)

Vi förenklar $\cosh (\ln x)$ för $x>0$.

Lösning

Med $e^{\ln x}=x$ och $e^{-\ln x}=x^{-1}$ blir

$$\cosh (\ln x)=\frac{e^{\ln x}+e^{-\ln x}}{2}=\frac{x+x^{-1}}{2}=\boxed{\frac{x^2+1}{2x}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

2. Identitet

$$\boxed{{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1}$$

(Jämför med ${\cos }^2+{\sin }^2=1$. Kurvan $(\cosh t,\sinh t)$ parametriserar en hyperbel.)

Identiteten ${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$ säger att punkten $(\cosh t,\sinh t)$ ligger på hyperbeln $x^2-y^2=1$ — därav namnet.

Härledning

$${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{4}{4}=1.$$

Punkten $(X,Y)=(\cosh t,\sinh t)$ uppfyller alltså $X^2-Y^2=1$, och eftersom $X=\cosh t\ge 1$ ligger den på den högra grenen av hyperbeln.

---

3. Derivator

$$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x,(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$$

Härledning

Med $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x,\frac{d}{dx}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x.$$

Till skillnad från $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ blir det inget minustecken.

Eftersom $(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x>0$ är $\sinh$ strängt växande på hela $\mathbb{R}$ och har därför en invers.

---

4. Inversa hyperboliska funktioner

$$\boxed{\mathrm{arsinh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right),x\in \mathbb{R}}\boxed{\mathrm{artanh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},-1<x<1}$$

Härledningen av $\mathrm{arsinh}$ står bland de lösta övningarna nedan.

Härledning av $\mathrm{artanh}$

$\tanh$ antar värden i $(-1,1)$. Vi löser $x=\tanh y$ för $y$:

$$x=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}=\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}⟺x\left(e^{2y}+1\right)=e^{2y}-1⟺e^{2y}(1-x)=1+x⟺e^{2y}=\frac{1+x}{1-x},$$

så $2y=\ln \frac{1+x}{1-x}$ och $y=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$.

Vanliga fel

• Fel tecken i identiteten. Det är ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$, med minus — inte plus som för $\cos$ och $\sin$.
• Minustecken i derivatan. $(\cosh x{)}^{\prime }=+\sinh x$, inte $-\sinh x$.
• Att glömma att $\cosh x\ge 1$. Ekvationen $\cosh x=\frac{1}{2}$ saknar reella lösningar, och $\cosh x=c>1$ har två lösningar $x=\pm \ln \left(c+\sqrt{c^2-1}\right)$ eftersom $\cosh$ är jämn.
• Att behålla båda rötterna efter substitutionen $t=e^x$. Andragradsekvationen i $t$ kan ge en negativ rot, men $e^x>0$, så den ska förkastas.

---

5. Lösta övningar

Föreläsning 8, exempel — Inversen till $\sinh$

Vi bestämmer inversen till $\sinh x$.

Lösning

Inversen finns. $(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0$, så $\sinh$ är strängt växande och därmed injektiv. Vi kallar inversen $\mathrm{arsinh}$.

Lös ut. $y=\mathrm{arsinh}x⟺x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$. Med $t=e^y>0$ blir det

$$x=\frac{t-1/t}{2}⟺2xt=t^2-1⟺t^2-2xt-1=0,$$

med rötterna $t=x\pm \sqrt{x^2+1}$. Eftersom $\sqrt{x^2+1}>|x|$ är minusroten negativ och förkastas ($t>0$). Alltså $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$ och

$$\boxed{\mathrm{arsinh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right),x\in \mathbb{R}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Övning — Lös $\cosh x=2$

Vi löser ekvationen $\cosh x=2$ exakt.

Lösning

Med $t=e^x>0$ blir $\frac{t+1/t}{2}=2$, alltså $t^2-4t+1=0$ och $t=2\pm \sqrt{3}$. Båda rötterna är positiva ($2-\sqrt{3}\approx 0,27$), och eftersom $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$ är $\ln (2-\sqrt{3})=-\ln (2+\sqrt{3})$:

$$\boxed{x=\pm \ln \left(2+\sqrt{3}\right)}\approx \pm 1,317$$

Rimlighetskoll. $\cosh$ är jämn och $2>1$, så vi väntar oss två lösningar symmetriskt kring $0$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Övning — Lös $2\cosh x+\sinh x=2$

Vi löser ekvationen $2\cosh x+\sinh x=2$.

Lösning

Skriv med $e^x$. Med $t=e^x>0$ är $2\cosh x=t+\frac{1}{t}$ och $\sinh x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}$, så

$$\frac{3t}{2}+\frac{1}{2t}=2⟺3t^2-4t+1=0⟺(3t-1)(t-1)=0.$$

Båda rötterna $t=1$ och $t=\frac{1}{3}$ är positiva:

$$\boxed{x=0\text{eller}x=-\ln 3}$$

Kontroll. $x=0$: $2\cdot 1+0=2$. $x=-\ln 3$: $\cosh (-\ln 3)=\frac{3+1/3}{2}=\frac{5}{3}$ och $\sinh (-\ln 3)=\frac{1/3-3}{2}=-\frac{4}{3}$, så $\frac{10}{3}-\frac{4}{3}=2$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 3.6 Hyperbolic Functions

Se även

• Trigonometri
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Elementära funktioners derivator
• Funktioner och invers

Resurser

• Wikipedia: Hyperbolic functions