Funktioner och invers

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner

---

1. När finns en invers?

Definition

En funktion $f$ har en invers om man entydigt kan gå tillbaka från funktionsvärdet till ursprungsvärdet.

För att detta ska fungera måste funktionen vara injektiv:

$$\boxed{f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2}$$

Det betyder att olika $x$ aldrig får ge samma funktionsvärde.

Tip

Horisontella linjetestet: en funktion är injektiv om varje horisontell linje skär grafen i högst en punkt.

---

2. Definition av invers funktion

Om $f$ är injektiv kan dess invers $f^{-1}$ definieras på värdemängden:

$$\boxed{y=f^{-1}(x)⟺x=f(y)}$$

De viktigaste sambanden är

$$\boxed{f^{-1}(f(x))=x}\text{och}\boxed{f(f^{-1}(y))=y}$$

Warning

Symbolen $f^{-1}$ betyder inte $\frac{1}{f}$.

---

3. Hur man hittar inversen

Praktisk metod:

1. Sätt $y=f(x)$
2. Lös ut $x$ i termer av $y$
3. Byt namn från $y$ till $x$

Exempel

Låt $f(x)=2x+3$.

$$y=2x+3⟺x=\frac{y-3}{2}$$

Alltså

$$\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}}$$

Begränsa definitionsmängden först

Funktionen $f(x)=x^2$ är inte injektiv på hela $\mathbb{R}$.

Men på intervallet $[0,\infty )$ blir den injektiv och då är inversen

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}.$$

---

4. Geometrisk tolkning

Grafen till $f^{-1}$ fås genom spegling av grafen till $f$ i linjen

$$y=x.$$

Punkten $(a,b)$ på grafen till $f$ motsvarar punkten $(b,a)$ på grafen till $f^{-1}$.

---

5. Viktiga exempel

Funktion	Invers
$e^x$	$\ln x$
$a^x$	${\log }_{a}x$
$x^3$	$\sqrt[3]{x}$
$x^2$ på $[0,\infty )$	$\sqrt{x}$

Inversa funktioner dyker också upp för trigonometriska funktioner när man först begränsar definitionsmängden, t.ex. $\sin x\leftrightarrow \arcsin x$.

---

Läsning

• 3.1 Inverse Functions

Se även

• Funktioner
• Derivata
• Taylors formel

Resurser

• Khan Academy: Inverse functions
• Wikipedia: Inverse function