Funktioner och invers

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner

---

1. När finns en invers?

Idén. En invers funktion gör om det funktionen gjorde: vet vi utdata $y=f(x)$ vill vi kunna räkna tillbaka till indata $x$. Det är så $\ln$ löser ekvationer med $e^x$ och $\arcsin$ löser ekvationer med $\sin x$.

Definition

En funktion $f$ har en invers om man entydigt kan gå tillbaka från funktionsvärdet till ursprungsvärdet.

För att detta ska fungera måste funktionen vara injektiv (ett-till-ett), det vill säga varje $y\in V_f$ är bilden av exakt ett $x\in D_f$:

$$\boxed{f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2}$$

Det betyder att olika $x$ aldrig får ge samma funktionsvärde.

Tip

Horisontella linjetestet: en funktion är injektiv om varje horisontell linje skär grafen i högst en punkt.

Definitionen kan också skrivas $x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$. För att visa injektivitet är formen i rutan ovan (kontrapositionen) oftast enklare: vi antar $f(x_1)=f(x_2)$ och räknar fram $x_1=x_2$.

---

2. Definition av invers funktion

Om $f$ är injektiv kan dess invers $f^{-1}:V_f\to D_f$ definieras på värdemängden:

$$\boxed{y=f^{-1}(x)⟺x=f(y)}$$

De viktigaste sambanden, kancelleringslagarna, är

$$\boxed{f^{-1}(f(x))=x,x\in D_f}\text{och}\boxed{f(f^{-1}(y))=y,y\in V_f}$$

Definitions- och värdemängd byter plats:

$$D_{f^{-1}}=V_f,V_{f^{-1}}=D_f.$$

Inversen är själv injektiv, och dess invers är $f$ igen: $(f^{-1}{)}^{-1}=f$.

Warning

Symbolen $f^{-1}$ betyder inte $\frac{1}{f}$.

---

3. Hur man hittar inversen

Praktisk metod:

1. Sätt $y=f(x)$
2. Lös ut $x$ i termer av $y$
3. Byt namn från $y$ till $x$

Exempel

Låt $f(x)=2x+3$.

$$y=2x+3⟺x=\frac{y-3}{2}$$

Alltså

$$\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}}$$

Begränsa definitionsmängden först

Funktionen $f(x)=x^2$ är inte injektiv på hela $\mathbb{R}$: till exempel är $f(-1)=1=f(1)$ men $-1\ne 1$.

Men på intervallet $[0,\infty )$ blir den injektiv och då är inversen

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}.$$

Ekvationen $x=y^2$ ger $y=\pm \sqrt{x}$; vi förkastar den negativa lösningen eftersom inversens värden ska ligga i $D_f=[0,\infty )$.

---

4. Geometrisk tolkning

Grafen till $f^{-1}$ fås genom spegling av grafen till $f$ i linjen

$$y=x.$$

Punkten $(a,b)$ på grafen till $f$ motsvarar punkten $(b,a)$ på grafen till $f^{-1}$.

Punkten $(a,b)$ på grafen till $f$ blir $(b,a)$ på grafen till $f^{-1}$ — spegling i linjen $y=x$.

Härledning

$(a,b)$ ligger på grafen till $f$ $⟺$ $b=f(a)$ $⟺$ $a=f^{-1}(b)$ $⟺$ $(b,a)$ ligger på grafen till $f^{-1}$.

Punkterna $(a,b)$ och $(b,a)$ är varandras spegelbilder i $y=x$: mittpunkten $\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right)$ ligger på linjen, och sträckan mellan dem har riktning $(b-a,a-b)$, som är vinkelrät mot linjens riktning $(1,1)$.

---

5. Monotona funktioner

Låt $f$ vara definierad på ett intervall $I$ och $x_1,x_2\in I$. Funktionen är

	om $x_1<x_2$ medför
strängt växande	$f(x_1)<f(x_2)$
strängt avtagande	$f(x_1)>f(x_2)$
växande	$f(x_1)\le f(x_2)$
avtagande	$f(x_1)\ge f(x_2)$

En funktion som är (strängt) växande eller (strängt) avtagande på hela $D_f$ kallas (strängt) monoton.

Sats

En strängt monoton funktion är injektiv och har därför en invers.

Härledning

Antag att $f$ är strängt växande och att $x_1\ne x_2$. Då är ett av talen minst, säg $x_1<x_2$, och då är $f(x_1)<f(x_2)$, alltså $f(x_1)\ne f(x_2)$. Det är precis injektivitet. Fallet strängt avtagande går likadant.

Note

Villkoret gäller på hela definitionsmängden. $\tan x$ är strängt växande på $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ men inte på $D_{\tan }$: $\frac{\pi }{4}<\pi$ men $\tan \pi =0<1=\tan \frac{\pi }{4}$. Därför begränsar vi till $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ innan vi inverterar och får arctan.

---

6. Viktiga exempel

Funktion	Invers
$e^x$	$\ln x$
$a^x$	${\log }_{a}x$
$x^3$	$\sqrt[3]{x}$
$x^2$ på $[0,\infty )$	$\sqrt{x}$

Inversa funktioner dyker också upp för trigonometriska funktioner när man först begränsar definitionsmängden, t.ex. $\sin x\leftrightarrow \arcsin x$.

Vanliga fel

• $f^{-1}(x)$ tolkas som $\frac{1}{f(x)}$. För $f(x)=2x+3$ är $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$, inte $\frac{1}{2x+3}$.
• Inversen anges utan definitionsmängd. $D_{f^{-1}}=V_f$ — för $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ är inversen inte definierad i $x=1$, eftersom $f$ aldrig antar värdet $1$.
• Att invertera en icke-injektiv funktion. $x^2$ på $\mathbb{R}$ har ingen invers; vi måste först begränsa till t.ex. $[0,\infty )$ och sedan välja rätt tecken på roten.
• Att tro att “växande på varje intervall” räcker. $\tan x$ är växande på varje delintervall av $D_{\tan }$ men inte injektiv på hela $D_{\tan }$.

---

7. Lösta övningar

Föreläsning 6, exempel — Inversen till $x^3$

Vi visar att $f(x)=x^3$ är injektiv och beräknar inversen $f^{-1}$.

Lösning

Injektivitet. Antag $f(x_1)=f(x_2)$, alltså $x_1^3=x_2^3$. Faktorisering ger

$$x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2\right)=0.$$

Den andra faktorn kvadratkompletteras:

$$x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_2^2\ge 0,$$

med likhet bara om $x_1=x_2=0$. I båda fallen är $x_1=x_2$, så $f$ är injektiv.

Inversen. $D_f=V_f=\mathbb{R}$. Vi söker $y=f^{-1}(x)⟺x=f(y)=y^3⟺y=x^{1/3}$:

$$\boxed{f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x},f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 6, exempel — $x^3+x$ är strängt växande

Vi visar att $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x$, är strängt växande på hela $\mathbb{R}$ och därmed har en invers.

Lösning

Låt $x_1<x_2$, alltså $x_2-x_1>0$. Då är

$$\begin{array}{rl}f(x_2)-f(x_1)& =\left(x_2^3-x_1^3\right)+(x_2-x_1)=(x_2-x_1)\left(x_2^2+x_1{x}_2+x_1^2+1\right)\\ & =\underset{>0}{\underbrace{(x_2-x_1)}}\underset{\ge 1}{\underbrace{\left({\left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_1^2+1\right)}}>0.\end{array}$$

Alltså $f(x_1)<f(x_2)$: $\boxed{f\text{ a¨r stra¨ngt va¨xande}}$, och enligt satsen i avsnitt 5 har den en invers.

Inversen går inte att skriva med elementära uttryck utan en tredjegradsformel, men satsen garanterar att den finns.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Övning — Inversen till en rationell funktion

Vi visar att $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ är injektiv, bestämmer $D_f$ och $V_f$ och beräknar $f^{-1}$ med definitionsmängd.

Lösning

Definitionsmängd. $D_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Lös ut $x$. $y=\frac{x+1}{x-2}⟺y(x-2)=x+1⟺x(y-1)=2y+1$. För $y\ne 1$ ger det ett entydigt

$$x=\frac{2y+1}{y-1},$$

medan $y=1$ leder till $0=3$, som saknar lösning. Varje $y\ne 1$ har alltså exakt ett urbild: $f$ är injektiv och $V_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Byt namn.

$$\boxed{f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1},D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\setminus \{1\},V_{f^{-1}}=\mathbb{R}\setminus \{2\}}$$

Kontroll. $f(0)=-\frac{1}{2}$ och $f^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-1+1}{-\frac{3}{2}}=0$. Definitions- och värdemängd har bytt plats, som de ska.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 3.1 Inverse Functions

Se även

• Funktioner
• Derivata
• Taylors formel
• Arcusfunktioner
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Inversa funktioners derivata

Resurser

• Khan Academy: Inverse functions
• Wikipedia: Inverse function