---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - matematik
  - funktioner
  - envariabelanalys
  - invers
förkunskaper:
  - "[[Funktioner]]"
status: true
aliases:
  - Invers funktion
---

> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Funktioner]]

---

## 1. När finns en invers?

> [!abstract] Definition
> En funktion $f$ har en invers om man entydigt kan gå tillbaka från funktionsvärdet till ursprungsvärdet.

För att detta ska fungera måste funktionen vara **injektiv**:

$$
\boxed{f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2}
$$

Det betyder att olika $x$ aldrig får ge samma funktionsvärde.

> [!tip]
> **Horisontella linjetestet:** en funktion är injektiv om varje horisontell linje skär grafen i högst en punkt.

---

## 2. Definition av invers funktion

Om $f$ är injektiv kan dess invers $f^{-1}$ definieras på värdemängden:

$$
\boxed{y=f^{-1}(x)\iff x=f(y)}
$$

De viktigaste sambanden är

$$
\boxed{f^{-1}(f(x))=x}
\qquad\text{och}\qquad
\boxed{f(f^{-1}(y))=y}
$$

> [!warning]
> Symbolen $f^{-1}$ betyder **inte** $\dfrac{1}{f}$.

---

## 3. Hur man hittar inversen

Praktisk metod:

1. Sätt $y=f(x)$
2. Lös ut $x$ i termer av $y$
3. Byt namn från $y$ till $x$

> [!example]- Exempel
> Låt $f(x)=2x+3$.
>
> $$
> y=2x+3 \iff x=\frac{y-3}{2}
> $$
>
> Alltså
>
> $$
> \boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}}
> $$

> [!example]- Begränsa definitionsmängden först
> Funktionen $f(x)=x^2$ är inte injektiv på hela $\mathbb{R}$.
>
> Men på intervallet $[0,\infty)$ blir den injektiv och då är inversen
>
> $$
> f^{-1}(x)=\sqrt{x}.
> $$

---

## 4. Geometrisk tolkning

Grafen till $f^{-1}$ fås genom spegling av grafen till $f$ i linjen

$$
y=x.
$$

Punkten $(a,b)$ på grafen till $f$ motsvarar punkten $(b,a)$ på grafen till $f^{-1}$.

---

## 5. Viktiga exempel

| Funktion | Invers |
|---|---|
| $e^x$ | $\ln x$ |
| $a^x$ | $\log_a x$ |
| $x^3$ | $\sqrt[3]{x}$ |
| $x^2$ på $[0,\infty)$ | $\sqrt{x}$ |

Inversa funktioner dyker också upp för trigonometriska funktioner när man först begränsar definitionsmängden, t.ex. $\sin x \leftrightarrow \arcsin x$.

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=188|3.1 Inverse Functions]]

## Se även

- [[Funktioner]]
- [[Derivata]]
- [[Taylors formel]]

## Resurser

- [Khan Academy: Inverse functions](https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:functions)
- [Wikipedia: Inverse function](https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function)