M0047M-2021-05-27

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2021-05-27 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_210527.pdf, m0047m_210527sols.pdf) M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.

Översikt

• Uppgift 1: induktionsbevis för att $3^{2n}-1$ är delbart med 8
• Uppgift 2: gränsvärdena $e^{\cos \ln x}$ då $x\to 1$, $\frac{2^n}{n!}$ då $n\to \infty$ och $x^{\ln x}$ då $x\to 0^{+}$
• Uppgift 3: Lamberts W-funktion som invers till $x{e}^x$: definitionsmängd, derivata och tangent i $x=e$
• Uppgift 4: derivator och andra ordningens Taylorpolynom för den relativistiska kinetiska energin
• Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $\frac{x^3}{x-2}$
• Uppgift 6: optimering, vattenränna med största tvärsnittsarea

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. Delbarhet med 8 genom induktion

Bevisa, exempelvis med induktion, att det för alla positiva heltal $n\ge 1$ gäller att talet

$$c_n=3^{2n}-1$$

är delbart med 8. Ledning: ett heltal $c$ är delbart med ett annat heltal $d$ om det finns ett heltal $k$ så att $c=kd$. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ett bevis med induktion: basfall och induktionssteg.

Ledtråd 2

Basfallet är $n=1$. Anta att $3^{2p}-1=8k$ för något heltal $k$ och visa att $3^{2(p+1)}-1=8l$ för något heltal $l$.

Ledtråd 3

$3^{2(p+1)}=9\cdot 3^{2p}$, så $3^{2(p+1)}-1=9\left(3^{2p}-1\right)+8$.

Lösning

Basfall. För $n=1$ är $c_1=3^2-1=8=8\cdot 1$, som är delbart med 8.

Induktionssteg. Anta att $c_p=3^{2p}-1$ är delbart med 8 för något heltal $p\ge 1$, dvs. att $3^{2p}-1=8k$ för något heltal $k$ (induktionsantagandet). Då är

$$\begin{array}{rl}{c}_{p+1}& =3^{2(p+1)}-1=9\cdot 3^{2p}-1=9\cdot 3^{2p}-9+8\\ & =9\left(3^{2p}-1\right)+8=9\cdot 8k+8=8(9k+1)=8l\end{array}$$

där $l=9k+1$ är ett heltal eftersom $k$ är ett heltal. Alltså är även $c_{p+1}$ delbart med 8.

Enligt induktionsprincipen gäller

$$\boxed{8\text{ delar }{3}^{2n}-1\text{ fo¨r alla heltal }n\ge 1}$$

Alternativt bevis utan induktion. Med den geometriska summan är

$$3^{2n}-1=9^n-1=(9-1)\left(1+9+9^2+\cdots +9^{n-1}\right)=8\sum _{k=0}^{n-1}{9}^k$$

och summan är ett heltal.

Kontrollerat mot facit.

---

2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{x\to 1}{\lim }{e}^{\cos \ln x}$$

(1p)

(b) Visa att

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0.$$

Ledning: instängningssatsen. (2p)

(c)

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\ln x}$$

(2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) handlar om Kontinuitet; (b) är en instängning av en talföljd; (c) är ett oegentligt gränsvärde där man skriver om potensen med exponentialfunktionen.

Ledtråd 2

(a) Funktionen är kontinuerlig i $x=1$. (b) Skriv $\frac{2^n}{n!}$ som en produkt av $n$ kvoter $\frac{2}{k}$ och uppskatta dem. (c) Använd $a^b=e^{b\ln a}$.

Ledtråd 3

(b) Alla kvoter $\frac{2}{k}$ med $k\ge 2$ är högst 1. (c) $x^{\ln x}=e^{(\ln x{)}^2}$.

Lösning

(a) Funktionen $e^{\cos \ln x}$ är sammansatt av kontinuerliga funktioner och därmed kontinuerlig för $x>0$, så man kan sätta in $x=1$:

$$\underset{x\to 1}{\lim }{e}^{\cos \ln x}=e^{\cos \ln 1}=e^{\cos 0}=\boxed{e}$$

(b) För $n\ge 3$ är

$$0<\frac{2^n}{n!}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{2}\cdot \underset{\text{alla}\le 1}{\underbrace{\frac{2}{3}\cdots \frac{2}{n-1}}}\cdot \frac{2}{n}\le 2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{2}{n}=\frac{4}{n}$$

(för $n=3$ är den mellersta produkten tom). Eftersom $\frac{4}{n}\to 0$ då $n\to \infty$ ger instängningssatsen

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0}$$

Alternativt: varje kvot $\frac{2}{k}$ med $k\ge 3$ är högst $\frac{2}{3}$, så $0<\frac{2^n}{n!}\le 2{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-2}\to 0$.

(c) För $x>0$ är

$$x^{\ln x}=e^{\ln x\cdot \ln x}=e^{(\ln x{)}^2}$$

Då $x\to 0^{+}$ går $\ln x\to -\infty$, så $(\ln x{)}^2\to +\infty$, och eftersom $e^t\to \infty$ då $t\to \infty$ är

$$\boxed{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\ln x}=+\infty }$$

Gränsvärdet existerar alltså inte som ändligt tal, men är oegentligt $+\infty$.

Kontrollerat mot facit.

---

3. Lamberts W-funktion

Låt

$$f(x)=x{e}^x,-1\le x<\infty ,$$

och definiera Lamberts W-funktion $W$ som inversen till $f$, dvs. $W(x)=f^{-1}(x)$.

(a) Visa att $f$ är inverterbar. Vad är definitionsmängden för $W$? (2p)

(b) Visa att derivatan $W^{\prime }(x)$ uppfyller

$$W^{\prime }(x)=\frac{W(x)}{x\left(1+W(x)\right)}$$

om $x\ne 0$. (2p)

(c) Finn tangenten till kurvan $y=W(x)$ i punkten $x=e$. Tips: formeln i uppgift (b) kan vara användbar. (2p)

Totalpoäng: 6

Ledtråd 1

Invers funktion och derivatan av en invers, som man får med Implicit derivering.

Ledtråd 2

(a) En strängt växande funktion är injektiv; definitionsmängden för $W$ är värdemängden för $f$. (b) $y=W(x)⟺x=y{e}^y$; derivera sambandet med avseende på $x$. (c) Enpunktsformeln $y-W(e)=W^{\prime }(e)(x-e)$.

Ledtråd 3

(a) $f^{\prime }(x)=(1+x)e^x$. (b) $1=(1+y)e^y{y}^{\prime }$ och $e^y=\frac{x}{y}$. (c) $W(e)=1$ eftersom $1\cdot e^1=e$.

Lösning

(a) Derivering ger

$$f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x$$

som är $>0$ för $x>-1$ och $=0$ bara i $x=-1$. Eftersom $f$ är kontinuerlig på $[-1,\infty )$ är $f$ strängt växande där, alltså injektiv och därmed inverterbar. Vidare är

$$f(-1)=-e^{-1}=-\frac{1}{e},\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^x=\infty$$

och $f$ är kontinuerlig, så värdemängden är $\left[-\frac{1}{e},\infty \right)$. Definitionsmängden för inversen är värdemängden för $f$:

$$\boxed{D_W=\left[-\frac{1}{e},\infty \right)}$$

(b) Låt $x>-\frac{1}{e}$ och $y=W(x)$. Då är $y>-1$ och

$$y=W(x)⟺x=f(y)=y{e}^y$$

Implicit derivering av $x=y{e}^y$ med avseende på $x$ ger

$$1=(1+y)e^y\cdot y^{\prime }⟹W^{\prime }(x)=y^{\prime }=\frac{1}{(1+y)e^y}$$

Om $x\ne 0$ är $y\ne 0$ (eftersom $W(0)=0$ och $W$ är injektiv), och då ger $x=y{e}^y$ att $e^y=\frac{x}{y}$. Insättning:

$$W^{\prime }(x)=\frac{1}{(1+y)\cdot \frac{x}{y}}=\frac{y}{x(1+y)}=\boxed{\frac{W(x)}{x\left(1+W(x)\right)}}$$

(c) $W(e)$ är den lösning $y$ till $y{e}^y=e$ som ligger i $[-1,\infty )$. Uppenbarligen är $y=1$ en lösning, och den är den enda eftersom $f$ är injektiv. Alltså är $W(e)=1$, och (b) ger

$$W^{\prime }(e)=\frac{1}{e(1+1)}=\frac{1}{2e}$$

Tangenten är

$$y-1=\frac{1}{2e}(x-e)⟺\boxed{y=\frac{x}{2e}+\frac{1}{2}}$$

Kontroll: tangenten till $y=x{e}^x$ i $(1,e)$ har lutningen $f^{\prime }(1)=2e$; spegling i $y=x$ ger lutningen $\frac{1}{2e}$ i $(e,1)$.

Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning har i (b) en ledning (“implicit derivering”) som inte står i tentatexten.

---

4. Relativistisk kinetisk energi

En partikel med vilomassa $m_0$ rör sig med hastigheten $v$ (där $|v|<c$) relativt ett visst koordinatsystem. Einstein visade under sitt annus mirabilis 1905 att partikelns totala energi $E$ är

$$E=m{c}^2,$$

där partikelns relativistiska massa $m$ ges av

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$

Partikelns kinetiska energi $T$ ges därmed av differensen mellan totala energin och viloenergin enligt formeln

$$T=T(v)=E-E_0=m{c}^2-m_0{c}^2=m_0{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right),$$

där $c$ är ljusets hastighet i vakuum.

(a) Beräkna förstaderivatan $T^{\prime }(v)$ och andraderivatan $T^{\prime \prime }(v)$. (2p)

(b) Approximera $T(v)$ med ett andra ordningens Taylorpolynom till $T(v)$ kring $v=0$. Restterm behöver ej beräknas. (2p)

Totalpoäng: 4

Ledtråd 1

Kedjeregeln och produktregeln, sedan ett Taylorpolynom.

Ledtråd 2

Skriv $T(v)=m_0{c}^2\left({\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{-1/2}-1\right)$. $P_2(v)=T(0)+T^{\prime }(0)v+\frac{T^{\prime \prime }(0)}{2}{v}^2$.

Ledtråd 3

$T^{\prime }(v)=m_{0}v{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{-3/2}$; derivera den med produktregeln.

Lösning

(a) Med $T(v)=m_0{c}^2\left({\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{-1/2}-1\right)$ ger kedjeregeln

$$T^{\prime }(v)=m_0{c}^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{-3/2}\cdot \left(-\frac{2v}{c^2}\right)=\boxed{\frac{m_{0}v}{{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{3/2}}}$$

Produktregeln ger sedan

$$\begin{array}{rl}{T}^{\prime \prime }(v)& =m_0{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{-3/2}+m_{0}v\cdot \left(-\frac{3}{2}\right){\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{-5/2}\cdot \left(-\frac{2v}{c^2}\right)\\ & =m_0{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{-5/2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}+\frac{3v^2}{c^2}\right)\end{array}$$ $$\boxed{T^{\prime \prime }(v)=\frac{m_0\left(1+\frac{2v^2}{c^2}\right)}{{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}^{5/2}}}$$

(b) I $v=0$ är

$$T(0)=m_0{c}^2(1-1)=0,T^{\prime }(0)=0,T^{\prime \prime }(0)=m_0$$

så

$$P_2(v)=T(0)+T^{\prime }(0)v+\frac{T^{\prime \prime }(0)}{2!}{v}^2=\boxed{\frac{m_0{v}^2}{2}}$$

För hastigheter som är små jämfört med $c$ är alltså $T(v)\approx \frac{m_0{v}^2}{2}$, den klassiska kinetiska energin.

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvan $\frac{x^3}{x-2}$

Definiera funktionen

$$y=f(x)=\frac{x^3}{x-2}.$$

Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp detaljerade teckenscheman. Skissera kurvan. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning: asymptoter, teckenschema för derivatan och andraderivatan för inflexionspunkter.

Ledtråd 2

Nämnaren är noll i $x=2$. Polynomdivision visar hur funktionen beter sig långt ut. Derivera med kvotregeln och faktorisera.

Ledtråd 3

$f(x)=x^2+2x+4+\frac{8}{x-2}$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2(x-3)}{(x-2{)}^2}$ och $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x(x^2-6x+12)}{(x-2{)}^3}$.

Lösning

Asymptoter. Polynomdivision ger

$$f(x)=\frac{x^3}{x-2}=x^2+2x+4+\frac{8}{x-2}$$

Täljarens grad är två mer än nämnarens, så $f(x)\to +\infty$ då $x\to \pm \infty$ och $\frac{f(x)}{x}\to \pm \infty$; det finns ingen vågrät eller sned asymptot. Långt ut beter sig kurvan som parabeln $y=x^2+2x+4=(x+1{)}^2+3$. Vid $x=2$ går täljaren mot $8$ och nämnaren mot $0$:

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$$ $$\boxed{\text{lodra¨t asymptot }x=2,\text{ inga andra asymptoter}}$$

Derivata. Kvotregeln ger

$$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^3-6x^2}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2(x-3)}{(x-2{)}^2}$$

Kritiska punkter: $x=0$ och $x=3$.

	$x<0$	$0$	$0<x<2$	$2$	$2<x<3$	$3$	$x>3$
$2x^2$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x-2{)}^2$	$+$	$+$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$-$	$0$	$-$	ej def.	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	terrass	$\searrow$	asymptot	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$

$$\boxed{\text{lok. min }f(3)=27,\text{terrasspunkt i }(0,0)}$$

Det finns inget lokalt maximum.

Andraderivata.

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{(6x^2-12x)(x-2{)}^2-(2x^3-6x^2)\cdot 2(x-2)}{(x-2{)}^4}=\frac{(6x^2-12x)(x-2)-2(2x^3-6x^2)}{(x-2{)}^3}=\frac{2x(x^2-6x+12)}{(x-2{)}^3}$$

Här är $x^2-6x+12=(x-3{)}^2+3>0$ för alla $x$.

	$x<0$	$0$	$0<x<2$	$2$	$x>2$
$2x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-3{)}^2+3$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$(x-2{)}^3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f^{\prime \prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	ej def.	$+$
$f(x)$	konvex	infl.	konkav	asymptot	konvex

$f^{\prime \prime }$ byter tecken i $x=0$, så terrasspunkten är en inflexionspunkt:

$$\boxed{\text{inflexionspunkt }(0,0)}$$

($x=2$ ger ingen inflexionspunkt eftersom $f$ inte är definierad där.)

Skiss. Kurvan kommer från $+\infty$ till vänster, konvex, avtar och planar ut i terrassen $(0,0)$ där den blir konkav, fortsätter nedåt mot $-\infty$ vid asymptoten $x=2$. Till höger om asymptoten kommer den ned från $+\infty$, når minimum i $(3,27)$ och växer sedan som parabeln $y=x^2+2x+4$.

Kontrollerat mot facit.

---

6. Vattenränna med största tvärsnitt

En öppen ränna för vatten skall konstrueras ur en 30 cm bred plåt genom att bocka upp en tredjedel av plåten vinkeln $\varphi$ på varje sida, se rännans tvärsnitt i figuren under.

(I tentan visas rännans tvärsnitt: en vågrät botten på 10 cm och två sidor på 10 cm vardera, som är uppbockade vinkeln $\varphi$ från den vågräta linjen så att rännan vidgas uppåt. Tvärsnittsarean mellan sidorna och vattenytan är $A$.)

Hur skall vinkeln $\varphi$ väljas för att rännan skall rymma så mycket vatten som möjligt och hur stor är tvärsnittsarean $A$ då? (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Optimering: sök största värdet av en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall, med Trigonometri för att uttrycka arean.

Ledtråd 2

Dela tvärsnittet i en rektangel $10\times h$ och två räta trianglar med kateterna $b$ och $h$, där $h=10\sin \varphi$ och $b=10\cos \varphi$. Jämför kritiska punkter med ändpunkterna.

Ledtråd 3

$A(\varphi )=100(1+\cos \varphi )\sin \varphi$ och $A^{\prime }(\varphi )=100(2{\cos }^2\varphi +\cos \varphi -1)=100(2\cos \varphi -1)(\cos \varphi +1)$.

Lösning

Varje uppbockad sida har längden 10 cm. Höjden är $h=10\sin \varphi$ och varje sida sticker ut $b=10\cos \varphi$ vågrätt. Tvärsnittet är en rektangel med basen 10 och två räta trianglar:

$$A=10h+2\cdot \frac{bh}{2}=100\sin \varphi +100\cos \varphi \sin \varphi =100(1+\cos \varphi )\sin \varphi$$

Det rimliga intervallet är $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$ (för $\varphi <0$ rinner vattnet ut, och för $\varphi >\frac{\pi }{2}$ lutar sidorna inåt). $A$ är kontinuerlig på det slutna intervallet, så största värdet antas i en ändpunkt eller en kritisk punkt.

Derivata.

$$A^{\prime }(\varphi )=100\left(-{\sin }^2\varphi +(1+\cos \varphi )\cos \varphi \right)=100\left(2{\cos }^2\varphi +\cos \varphi -1\right)=100(2\cos \varphi -1)(\cos \varphi +1)$$

På intervallet är $\cos \varphi +1>0$, så $A^{\prime }(\varphi )=0$ bara då $\cos \varphi =\frac{1}{2}$, dvs. $\varphi =\frac{\pi }{3}$. $A^{\prime }>0$ för $0\le \varphi <\frac{\pi }{3}$ och $A^{\prime }<0$ för $\frac{\pi }{3}<\varphi \le \frac{\pi }{2}$, så det är ett maximum.

Jämförelse.

$$A(0)=0,A\left(\frac{\pi }{2}\right)=100,A\left(\frac{\pi }{3}\right)=100\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}$$

och $75\sqrt{3}>100⟺3\sqrt{3}>4⟺27>16$, vilket stämmer. Alltså

$$\boxed{\varphi =\frac{\pi }{3}=60^{\circ },A_{\max }=75\sqrt{3}{\text{ cm}}^2\approx 129,9{\text{ cm}}^2}$$

Rännan blir då en halv regelbunden sexhörning.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Matematisk induktion
• Gränsvärden
• Oegentliga gränsvärden
• Kontinuitet
• Talföljder och summor
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Funktioner och invers
• Inversa funktioners derivata
• Implicit derivering
• Deriveringsregler
• Taylors formel
• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter
• Andraderivata och konvexitet
• Trigonometri