Implicit derivering

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata, Kedjeregeln

---

Många kurvor i planet är inte grafen till en funktion $y=f(x)$. De beskrivs i stället av en ekvation i två variabler. Implicit derivering ger ändå tangentens lutning i varje punkt, utan att vi behöver lösa ut $y$.

---

1. Implicit form

En ekvation $F(x,y)=0$, där $F(x,y)$ är ett uttryck i $x$ och $y$, kallas en implicit beskrivning av kurvan. Cirkeln med radie $5$ och centrum i origo är

$$x^2+y^2=25⟺F(x,y)=x^2+y^2-25=0.$$

Ibland går det att lösa ut $y$: här får vi $y=\sqrt{25-x^2}$ (övre halvcirkeln) och $y=-\sqrt{25-x^2}$ (undre). Men för en kurva som $x^2{y}^3-x^3{y}^2=12$ går det inte i praktiken. Vi säger att sambandet definierar $y$ som en (eller flera) implicit definierade funktioner av $x$.

---

2. Metoden

När $y$ är en funktion av $x$ men är given av ett samband $F(x,y)=0$, deriverar man båda sidor med $x$ och löser ut $y^{\prime }$.

Cirkeln $x^2+y^2=25$ och tangenten i $(3,-4)$, där $y^{\prime }=-x/y=3/4$.

Arbetsgång

1. Betrakta $y$ som $y(x)$.
2. Derivera båda leden med avseende på $x$. Varje term som innehåller $y$ ger en faktor $y^{\prime }$ via kedjeregeln.
3. Samla termerna med $y^{\prime }$ på ena sidan och lös ut $y^{\prime }$.
4. Sätt in punktens koordinater — både $x$ och $y$.

Nyckeln är kedjeregeln med $y$ som inre funktion:

$$\boxed{\frac{d}{dx}g(y)=g^{\prime }(y)\cdot y^{\prime }}$$

Tip

Kom ihåg kedjeregeln varje gång $y$ förekommer: $(y^2{)}^{\prime }=2y{y}^{\prime }$, $(\sin y{)}^{\prime }=\cos (y)y^{\prime }$.

Produkter av $x$ och $y$ kräver dessutom produktregeln: $\frac{d}{dx}(x^2{y}^3)=2x{y}^3+x^2\cdot 3y^2{y}^{\prime }$.

Cirkel $x^2+y^2=1$

Derivera båda sidor:

$$2x+2y{y}^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }=-\frac{x}{y}$$

Svaret beror på både $x$ och $y$. Det är naturligt: i en och samma $x$-koordinat har cirkeln två punkter, med motsatta lutningar. Där $y=0$ är tangenten vertikal och $y^{\prime }$ odefinierad.

Exempel — tangent och normal till en cirkel

Vi bestämmer tangenten och normalen till cirkeln $x^2+y^2=25$ i punkten $(3,-4)$.

Lösning

Derivera implicit. $2x+2y{y}^{\prime }=0$, så $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$.

I punkten. $y^{\prime }=-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4}$.

Tangenten. $y+4=\frac{3}{4}(x-3)$, dvs

$$\boxed{y=\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}}$$

Normalen har lutningen $-\frac{4}{3}$: $y+4=-\frac{4}{3}(x-3)$, dvs $\boxed{y=-\frac{4}{3}x}$.

Rimlighetskoll. Normalen går genom origo, cirkelns medelpunkt, precis som en radie ska.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Härledning: varför metoden fungerar

Antag att $y=y(x)$ är deriverbar och uppfyller $F(x,y(x))=0$ för alla $x$ i ett intervall. Då är vänsterledet en funktion av $x$ som är identiskt noll, så dess derivata är noll. Varje term deriveras med de vanliga reglerna; en term $g(y(x))$ ger enligt kedjeregeln $g^{\prime }(y(x))y^{\prime }(x)$. Resultatet är en ekvation som är linjär i $y^{\prime }$ och därför alltid kan lösas, utom där koefficienten framför $y^{\prime }$ är noll. Där har kurvan vertikal tangent, eller så beskriver ekvationen inte $y$ som en deriverbar funktion av $x$ nära punkten.

---

3. Andra derivatan

$y^{\prime \prime }$ fås genom att derivera uttrycket för $y^{\prime }$ en gång till — implicit, eftersom det innehåller $y$ — och sedan ersätta $y^{\prime }$ med uttrycket vi redan har. Ofta kan kurvans ekvation användas för att förenkla resultatet (se Föreläsning 20, exempel 4 nedan).

Vanliga fel

• Glömma $y^{\prime }$. $\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2{y}^{\prime }$, inte $3y^2$. Samma för varje term med $y$, även inne i en produkt.
• Derivera högerledet fel. En konstant som $12$ ger $0$; högerledet deriveras också.
• Bara sätta in $x$. Lutningen $y^{\prime }=-x/y$ kräver punktens $y$-koordinat; cirkeln har två punkter för varje $x$.
• Dela med noll. Där koefficienten framför $y^{\prime }$ är noll (till exempel $y=0$ på en cirkel) är tangenten vertikal, och $y^{\prime }$ saknas.

---

4. Lösta övningar

Föreläsning 20, exempel 3 — tangent till en implicit kurva

Vi bestämmer tangentens ekvation till kurvan $x^2{y}^3-x^3{y}^2=12$ i punkten $(-1,2)$.

Lösning

Punkten ligger på kurvan. $(-1{)}^2\cdot 2^3-(-1{)}^3\cdot 2^2=8+4=12$.

Derivera implicit med produktregeln och kedjeregeln:

$$2x{y}^3+x^2\cdot 3y^2{y}^{\prime }-(3x^2{y}^2+x^3\cdot 2y{y}^{\prime })=0.$$

Lös ut $y^{\prime }$.

$$(3x^2{y}^2-2x^{3}y)y^{\prime }=3x^2{y}^2-2x{y}^3⟺y^{\prime }=\frac{3x^2{y}^2-2x{y}^3}{3x^2{y}^2-2x^{3}y}.$$

I punkten $(-1,2)$.

$$y^{\prime }=\frac{3\cdot 1\cdot 4-2\cdot (-1)\cdot 8}{3\cdot 1\cdot 4-2\cdot (-1)\cdot 2}=\frac{12+16}{12+4}=\frac{7}{4}.$$

Tangenten.

$$\boxed{y-2=\frac{7}{4}(x+1)}⟺y=\frac{7}{4}x+\frac{15}{4}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 20, exempel 4 — andraderivata på en ellips

Vi bestämmer $y^{\prime \prime }$ uttryckt i $x$ och $y$ när $x^2+4y^2=4$. Kurvan är ellipsen $\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$.

Lösning

Första derivatan. $2x+8y{y}^{\prime }=0$, så

$$y^{\prime }=-\frac{x}{4y}.$$

Derivera en gång till (implicit, $2x+8y{y}^{\prime }=0$ med produktregeln på $y{y}^{\prime }$):

$$2+8(y^{\prime }{)}^2+8y{y}^{\prime \prime }=0⟺y^{\prime \prime }=-\frac{1+4(y^{\prime }{)}^2}{4y}.$$

Sätt in $y^{\prime }$.

$$y^{\prime \prime }=-\frac{1+\frac{x^2}{4y^2}}{4y}=-\frac{4y^2+x^2}{16y^3}.$$

Använd kurvans ekvation. $x^2+4y^2=4$, så

$$\boxed{y^{\prime \prime }=-\frac{1}{4y^3}}$$

Rimlighetskoll. På övre halvan ($y>0$) är $y^{\prime \prime }<0$: ellipsen buktar nedåt där, som den ska.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 20, exempel 5 — kurvor som skär varandra under rät vinkel

Vi visar att ellipsen $\frac{x^2}{13^2}+\frac{y^2}{12^2}=1$ och hyperbeln $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ skär varandra under räta vinklar.

Lösning

Vi ska visa att kurvorna har en skärningspunkt $(a,b)$ och att tangenterna där är vinkelräta, alltså att produkten av lutningarna är $-1$.

Skärningspunkter. Subtrahera ekvationerna:

$$a^2\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{13^2}\right)=b^2\left(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{12^2}\right)⟺a^2\cdot \frac{160}{3^2\cdot 13^2}=b^2\cdot \frac{10}{4^2\cdot 12^2},$$

vilket ger

$$\frac{a^2}{b^2}=\frac{3^2\cdot 13^2}{4^2\cdot 12^2}.$$

Insättning visar att skärningspunkterna är $(\pm \frac{39}{5},\pm \frac{48}{5})$, men vi behöver bara kvoten.

Lutningarna fås genom implicit derivering av respektive kurva:

$$\frac{2x}{13^2}+\frac{2y{y}^{\prime }}{12^2}=0\Rightarrow k_1=-\frac{12^2}{13^2}\cdot \frac{a}{b},\frac{2x}{3^2}-\frac{2y{y}^{\prime }}{4^2}=0\Rightarrow k_2=\frac{4^2}{3^2}\cdot \frac{a}{b}.$$

Produkten.

$$k_1{k}_2=-\frac{12^2\cdot 4^2}{13^2\cdot 3^2}\cdot \frac{a^2}{b^2}=-\frac{12^2\cdot 4^2}{13^2\cdot 3^2}\cdot \frac{3^2\cdot 13^2}{4^2\cdot 12^2}=\boxed{-1}$$

Tangenterna är vinkelräta i varje skärningspunkt.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Läsning

• 2.9 Implicit Differentiation

Se även

• Kedjeregeln
• Inversa funktioners derivata
• Deriveringsregler
• Derivata