Partiella derivator

Kapitel: 13.3 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Funktioner av flera variabler, Gränsvärden och kontinuitet

---

1. Partiell derivata

En partiell derivata beskriver hur snabbt en funktion av flera variabler förändras när en variabel i taget varieras, medan de övriga hålls konstanta.

1.1 Definition

För en funktion $f(x,y)$ definieras de partiella derivatorna i punkten $(x_0,y_0)$ som:

$$f_1(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$ $$f_2(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$$

1.2 Alternativ beteckning

Om $z=f(x,y)$ skrivs de partiella derivatorna ofta som:

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}=f_2(x,y)$$

Symbolen $\partial$ (rund d) används för att skilja partiell derivering från vanlig derivering.

1.3 Beräkningsregel

Kom ihåg — hur man räknar

• $f_x$: derivera m.a.p. $x$, behandla $y$ som en konstant (frys den).
• $f_y$: derivera m.a.p. $y$, behandla $x$ som en konstant (frys den).

Det är exakt envariabelderivering — fast med de övriga variablerna “frysta”.

Exempel a) Polynom

Låt $f(x,y)=x^2+5x^3{y}^2$.

Derivera m.a.p. $x$ (behandla $y$ som konstant): $\frac{\partial z}{\partial x}=f_1(x,y)=2x+15x^2{y}^2$

Derivera m.a.p. $y$ (behandla $x$ som konstant): $\frac{\partial z}{\partial y}=f_2(x,y)=10x^{3}y$

Exempel b) Kvotregeln

Låt $z=f(x,y)=\frac{x}{x^2+e^{xy}}$.

Derivera m.a.p. $x$ med kvotregeln: $f_1(x,y)=\frac{1\cdot (x^2+e^{xy})-x\cdot (2x+y{e}^{xy})}{(x^2+e^{xy}{)}^2}=\frac{-x^2+e^{xy}-xy{e}^{xy}}{(x^2+e^{xy}{)}^2}$

Derivera m.a.p. $y$ (skriv om som $x(x^2+e^{xy}{)}^{-1}$): $f_2(x,y)=x\cdot (-1)(x^2+e^{xy}{)}^{-2}\cdot x{e}^{xy}=-\frac{x^2{e}^{xy}}{(x^2+e^{xy}{)}^2}$

Exempel c) Derivering och insättning

Låt $z=f(x,y)=e^{2x}\cos (xy)$.

Derivera m.a.p. $x$ (produktregeln): $f_1(x,y)=2e^{2x}\cos (xy)-y{e}^{2x}\sin (xy)=e^{2x}(2\cos (xy)-y\sin (xy))$

Derivera m.a.p. $y$: $f_2(x,y)=e^{2x}(-\sin (xy))\cdot x=-x{e}^{2x}\sin (xy)$

Sätt in $(x,y)=(1,0)$: $f_1(1,0)=e^2(2\cos (0)-0)=2e^2$ $f_2(1,0)=-1\cdot e^2\cdot \sin (0)=0$

Beteckningen ${|}_{(1,0)}$ betyder insättning $x=1$, $y=0$.

---

2. Tangentvektorer

I en punkt $(a,b)$ på ytan $z=f(x,y)$ kan man bilda två tangentvektorer — en längs $x$-riktningen och en längs $y$-riktningen.

$${\vec{T}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ f_1(a,b)\end{array}\right],{\vec{T}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ f_2(a,b)\end{array}\right]$$

• ${\vec{T}}_1$ är tangent till kurvan som uppstår när $y=b$ hålls fast och $x$ varierar.
• ${\vec{T}}_2$ är tangent till kurvan som uppstår när $x=a$ hålls fast och $y$ varierar.

Dessa två vektorer spänner upp tangentplanet i punkten $(a,b,f(a,b))$.

---

3. Normalvektor

Normalvektorn till ytan i punkten $(a,b,f(a,b))$ fås via kryssprodukten av tangentvektorerna:

$$\vec{n}={\vec{T}}_1\times {\vec{T}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ f_1(a,b)\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ f_2(a,b)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-f_1(a,b)\\ -f_2(a,b)\\ 1\end{array}\right]$$

3.1 Normalvektor till en nivåyta

För en yta definierad implicit som $g(x,y,z)=C$ ges normalvektorn av gradienten:

$$\vec{n}=\nabla g=\left[\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\\ g_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial g}{\partial x}\\ \frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial z}\end{array}\right]$$

---

4. Tangentplan

4.1 Tangentplanets ekvation

Tangentplanet till ytan $z=f(x,y)$ i punkten $(a,b,f(a,b))$ ges av:

$$\boxed{z-f(a,b)=f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)}$$

Ekvationen följer direkt av att planet ska innehålla punkten $(a,b,f(a,b))$ och ha normalvektorn $\vec{n}=[-f_1(a,b),-f_2(a,b),1{]}^{\top }$.

Exempel — Tangentplan till en paraboloid

Låt $f(x,y)=2x^2+y^2$. Bestäm tangentplanet i punkten $(x,y)=(1,2)$.

Steg 1: Beräkna $z$-koordinaten för punkten på ytan: $f(1,2)=2\cdot 1^2+2^2=6\Rightarrow \text{punkten a¨r }(1,2,6)$

Steg 2: Beräkna de partiella derivatorna: $f_1(x,y)=4x\Rightarrow f_1(1,2)=4$ $f_2(x,y)=2y\Rightarrow f_2(1,2)=4$

Steg 3: Sätt in i tangentplansekvationen: $z-6=4(x-1)+4(y-2)$

---

Läsning

• 13.3 Partial Derivatives

Se även

• Funktioner av flera variabler
• Gränsvärden och kontinuitet
• Nivåkurvor och ytor
• Gradient och riktningsderivata

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Partial derivatives, visually — geometrisk tolkning av partiella derivator
• Khan Academy: Partial derivatives — introduktion med exempel

Interaktiva verktyg

• GeoGebra: Tangent Plane — visualisera tangentplan i 3D
• Wolfram Alpha — beräkna partiella derivator med partial derivative of f(x,y) with respect to x

Wikipedia

• Partial derivative
• Tangent plane
• Normal vector

---

Illustrationer

Tangentplan till en sfär

---

Räkneregler

Kapitel: 13.3–13.5 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Partiella derivator, Kedjeregeln

---

1. Grundläggande regler

Principen: en variabel i taget

Alla vanliga derivationsregler från envariabelanalys gäller för partiella derivator — man deriverar med avseende på en variabel och behandlar alla övriga variabler som konstanter.

1.1 Linjäritet

Om $f$ och $g$ är deriverbara och $\alpha$, $\beta$ är konstanter:

$$\boxed{\frac{\partial }{\partial x}[\alpha f+\beta g]=\alpha \frac{\partial f}{\partial x}+\beta \frac{\partial g}{\partial x}}$$

1.2 Konstant faktor

$$\frac{\partial }{\partial x}[c\cdot f(x,y)]=c\cdot \frac{\partial f}{\partial x},c\in \mathbb{R}$$

Obs — $y$ är en konstant!

När du deriverar m.a.p. $x$ är $y$ konstant. Det innebär att t.ex. $y^3$, $e^y$ och $\sin (y)$ alla är konstanta faktorer och deriveras som noll om de saknar $x$.

---

2. Produktregeln

Sats

Om $u=u(x,y)$ och $v=v(x,y)$ är partiellt deriverbara gäller:

$$\boxed{\frac{\partial }{\partial x}[u\cdot v]=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot v+u\cdot \frac{\partial v}{\partial x}}$$

och analogt för derivering m.a.p. $y$.

Schema — kom ihåg

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$

Exakt samma form som i envariabelanalys — håll bara koll på vilken variabel du deriverar m.a.p.

Exempel a) Enkel produkt

Låt $f(x,y)=x^3\sin (y)$.

Derivera m.a.p. $x$ (sin(y) är konstant): $\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2\sin (y)$

Derivera m.a.p. $y$ ($x^3$ är konstant): $\frac{\partial f}{\partial y}=x^3\cos (y)$

Exempel b) Produkt av funktioner i båda variablerna

Låt $f(x,y)=e^{2x}\cos (xy)$.

Derivera m.a.p. $x$ — produktregel med $u=e^{2x}$ och $v=\cos (xy)$: $\frac{\partial f}{\partial x}=2e^{2x}\cos (xy)+e^{2x}\cdot (-\sin (xy))\cdot y=e^{2x}(2\cos (xy)-y\sin (xy))$

Derivera m.a.p. $y$ — $e^{2x}$ är konstant: $\frac{\partial f}{\partial y}=e^{2x}\cdot (-\sin (xy))\cdot x=-x{e}^{2x}\sin (xy)$

Exempel c) Tre faktorer

Låt $f(x,y)=x^{2}y{e}^{xy}$.

Derivera m.a.p. $x$ — skriv $u=x^2$ och $v=y{e}^{xy}$ (behandla $y$ som konstant): $\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot y{e}^{xy}+x^2\cdot y{e}^{xy}\cdot y=xy{e}^{xy}(2+xy)$

---

3. Kvotregeln

Sats

Om $u=u(x,y)$ och $v=v(x,y)$ är partiellt deriverbara och $v\ne 0$:

$$\boxed{\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\cdot v-u\cdot \frac{\partial v}{\partial x}}{v^2}}$$

Minnesbild

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

Alternativ — skriv om som produkt

Ofta enklare att skriva $\frac{u}{v}=u\cdot v^{-1}$ och använda produktregeln tillsammans med kedjeregeln: $\frac{\partial }{\partial x}\left[u\cdot v^{-1}\right]=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot v^{-1}+u\cdot (-1)v^{-2}\frac{\partial v}{\partial x}$

Exempel a) Grundfall

Låt $f(x,y)=\frac{x^2}{y^3}$.

Derivera m.a.p. $x$ ($y^3$ är konstant): $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{y^3}$

Derivera m.a.p. $y$ ($x^2$ är konstant) — enklast med $f=x^2{y}^{-3}$: $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cdot (-3)y^{-4}=-\frac{3x^2}{y^4}$

Exempel b) Blandad kvot

Låt $z=\frac{x}{x^2+e^{xy}}$.

Derivera m.a.p. $x$ med kvotregeln ($u=x$, $v=x^2+e^{xy}$): $f_x=\frac{1\cdot (x^2+e^{xy})-x(2x+y{e}^{xy})}{(x^2+e^{xy}{)}^2}=\frac{-x^2+e^{xy}(1-xy)}{(x^2+e^{xy}{)}^2}$

Derivera m.a.p. $y$ ($u=x$ ger $u_y=0$, $v_y=x{e}^{xy}$): $f_y=\frac{0\cdot v-x\cdot x{e}^{xy}}{(x^2+e^{xy}{)}^2}=-\frac{x^2{e}^{xy}}{(x^2+e^{xy}{)}^2}$

---

4. Kedjeregeln — snabbreferens

Fullständig genomgång

Se Kedjeregeln för detaljer, variabelträd och variabelbyten.

Fall 1 — ett oberoende variabel

$z=f(x,y)$, $x=x(t)$, $y=y(t)$:

$$\boxed{\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}}$$

Fall 2 — två oberoende variabler

$z=f(x,y)$, $x=x(s,t)$, $y=y(s,t)$:

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}}$$

Kedjeregeln för sammansatt funktion

Om $h(x,y)=f(g(x,y))$ — alltså $f$ av en skalär:

$$\boxed{\frac{\partial h}{\partial x}=f^{\prime }(g(x,y))\cdot \frac{\partial g}{\partial x}}$$

Exempel — kedjeregel på skalär funktion

Låt $h(x,y)=\sin (x^2+y^2)$. Sätt $u=x^2+y^2$.

$\frac{\partial h}{\partial x}=\cos (u)\cdot 2x=2x\cos (x^2+y^2)$

$\frac{\partial h}{\partial y}=\cos (u)\cdot 2y=2y\cos (x^2+y^2)$

---

5. Implicit derivering

Om $F(x,y,z)=0$ definierar $z$ implicit som funktion av $x$ och $y$:

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}}$$

Förutsättning

Formeln kräver att $F_z\ne 0$ i punkten. Om $F_z=0$ kan man inte lösa ut $z$ lokalt.

Exempel — implicit derivering

Låt $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0$ (enhetssphären).

$F_x=2x,F_y=2y,F_z=2z$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}$

Geometriskt beskriver detta lutningen på sfären i resp. riktning.

---

6. Snabbtabell — räkneregler

Regel	Formel
Summa	${\partial }_x(f+g)=f_x+g_x$
Konstant	${\partial }_x(c)=0$
Konstant faktor	${\partial }_x(cf)=c{f}_x$
Produkt	${\partial }_x(fg)=f_{x}g+f{g}_x$
Kvot	${\partial }_x(f/g)=(f_{x}g-f{g}_x)/g^2$
Kedja (skalär)	${\partial }_{x}f(g)=f^{\prime }(g)g_x$
Kedja (vektor)	${\partial }_{t}f(x(t),y(t))=f_x\dot{x}+f_y\dot{y}$
Implicit	${\partial }_{x}z=-F_x/F_z$
Potens	${\partial }_x(x^n)=n{x}^{n-1}$

---

7. Tips och vanliga misstag

Tips 1 — se alltid vilken variabel du deriverar m.a.p.

Skriv ut $\frac{\partial }{\partial x}$ eller $\frac{\partial }{\partial y}$ tydligt i varje steg. Det är lätt att missa att byta derivatavariabel mitt i en beräkning.

Tips 2 — faktorisera gärna ut konstanter

Om $f(x,y)=e^y\cdot g(x)$, så är $\frac{\partial f}{\partial x}=e^y\cdot g^{\prime }(x)$ direkt — ingen produktregel behövs.

Tips 3 — skriv om kvoten som produkt vid komplexa uttryck

$\frac{u}{v}=u\cdot v^{-1}$ och tillämpa produktregel + kedjeregel. Minskar risken för teckenmissar.

Tips 4 — kontrollera med mixed partials

För tillräckligt snälla funktioner gäller Clairauts sats: $f_{xy}=f_{yx}$. Stämmer inte det, har du räknat fel.

Vanligt misstag 1 — glömmer kedjeregeln

$\frac{\partial }{\partial x}\sin (xy)=\cos (xy)$ är fel.

Korrekt: $\frac{\partial }{\partial x}\sin (xy)=y\cos (xy)$ — inre derivatan $y$ måste multipliceras in.

Vanligt misstag 2 — deriverar $y$ m.a.p. $x$

$\frac{\partial }{\partial x}(y^3)=3y^2$ är fel ($y$ är konstant!).

Korrekt: $\frac{\partial }{\partial x}(y^3)=0$.

Vanligt misstag 3 — blandar $d$ och $\partial$

Använd $\partial$ för partiella derivator (flera variabler) och $d$ för vanliga derivator (en variabel eller total derivata). Fel symbol signalerar fel tänk.

Träningsuppgift — identifiera räknereglerna

Bestäm alla partiella derivator av $f(x,y)=\frac{x\ln (y)}{e^{x^2+y}}$.

Ledning: Skriv om som $x\ln (y)\cdot e^{-(x^2+y)}$ och använd produktregeln. Kedjeregeln behövs för $e^{-(x^2+y)}$.

$\frac{\partial f}{\partial x}=\ln (y)e^{-(x^2+y)}+x\ln (y)e^{-(x^2+y)}\cdot (-2x)=\ln (y)e^{-(x^2+y)}(1-2x^2)$

$\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot \frac{1}{y}\cdot e^{-(x^2+y)}+x\ln (y)\cdot e^{-(x^2+y)}\cdot (-1)=\frac{x{e}^{-(x^2+y)}}{y}\left(1-y\ln (y)\right)$

---

Se även

• Partiella derivator
• Kedjeregeln
• Högre ordningens derivator
• Gradient och riktningsderivata

---

Resurser

Videor

• Khan Academy: Partial derivative rules — regler och exempel
• Professor Leonard: Partial Derivatives — produkt- och kvotregel i flervariabelfall
• 3Blue1Brown: Implicit differentiation — intuition för implicit derivering

Interaktiva verktyg

• Wolfram Alpha — partial derivative of f(x,y) with respect to x för symbolisk beräkning
• Desmos 3D — visualisera funktioner och deras derivator

Wikipedia

• Partial derivative — Wikipedia
• Product rule — Wikipedia
• Implicit function theorem — Wikipedia

Fördjupning

• Adams & Essex, Calculus: A Complete Course, avsnitt 13.3–13.5

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2026-03-25, M0068M

2026-03-25 – Föreläsning 3 (Partiella derivator, tangentplan)

Definition

$f_1(x_0,y_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$

$f_2(x_0,y_0)={\lim }_{k\to 0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$

Alternativ beteckning om $z=f(x,y)$: $\frac{\partial z}{\partial x}=f_1(x,y),\frac{\partial z}{\partial y}=f_2(x,y)$

Beräkningsexempel

a) $f(x,y)=x^2+5x^3{y}^2$: $f_1=2x+15x^2{y}^2,f_2=10x^{3}y$

b) $z=\frac{x}{x^2+e^{xy}}$: $f_1=\frac{-x^2+e^{xy}-xy{e}^{xy}}{(x^2+e^{xy}{)}^2},f_2=-\frac{x^2{e}^{xy}}{(x^2+e^{xy}{)}^2}$

c) $z=e^{2x}\cos (xy)$: derivering och insättning $(x,y)=(1,0)$: $f_1(1,0)=2e^2,f_2(1,0)=0$

Tangentvektorer och tangentplan

Tangentvektorer i $(a,b)$: ${\vec{T}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ f_1(a,b)\end{array}\right],{\vec{T}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ f_2(a,b)\end{array}\right]$

Normalvektor: ${\vec{T}}_1\times {\vec{T}}_2=\left[\begin{array}{c}-f_1(a,b)\\ -f_2(a,b)\\ 1\end{array}\right]$

Tangentplanets ekvation: $z-f(a,b)=f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)$

Exempel: $f(x,y)=2x^2+y^2$, tangentplan i $(1,2)$:

• Punkt: $(1,2,6)$; $f_1(1,2)=4$; $f_2(1,2)=4$
• Tangentplan: $z-6=4(x-1)+4(y-2)$