Funktioner av flera variabler

Kapitel: 13.1 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Nivåkurvor och ytor

---

1. Funktioner av flera variabler — Översikt

En funktion av flera variabler tar ett par (eller tupel) av tal och returnerar ett enda tal. Det är en naturlig generalisering av envariabelfunktioner $f(x)$.

Motiverande exempel

Rektangelns area beror på två mått:

$$A=f(x,y)=xy$$

Volymen av en kon beror på radien $r$ och höjden $h$:

$$V=f(r,h)=\frac{\pi r^{2}h}{3}$$

Temperaturen på en plåt i punkten $(x,y)$:

$$T=f(x,y),(x,y)\in D_f\subseteq {\mathbb{R}}^2$$

Temperaturen i en kropp vid tid $t$:

$$T=f(x,y,z,t),(x,y,z)\in \Omega ,t\ge 0\text{(fyra variabler)}$$

---

2. Definition

2.1 Funktion av två variabler

En funktion av två variabler är en regel $f$ som till varje punkt $(x,y)$ i definitionsmängden $D_f\subseteq {\mathbb{R}}^2$ tillordnar ett entydigt reellt tal $z$:

$$\boxed{f:D_f\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto z=f(x,y)}$$

2.2 Funktion av tre (eller fler) variabler

$$f:D_f\subseteq {\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R},(x,y,z)\mapsto w=f(x,y,z)$$

Eller mer generellt med $n$ variabler: $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

2.3 Definitionsmängd

Definitionsmängden $D_f$ är mängden av alla punkter där $f$ är definierad. Om inget annat anges antas den maximala naturliga definitionsmängden.

Exempel: Bestäm definitionsmängden

a) $f(x,y)=\ln (2-x^2-y^2)$

Logaritmen kräver positivt argument:

$$2-x^2-y^2>0⟺x^2+y^2<2$$

$D_f$ är den öppna skivan med centrum i origo och radien $\sqrt{2}$.

---

b) $f(x,y)=\sqrt{xy}$

Roten kräver $xy\ge 0$, dvs. $x$ och $y$ har samma tecken (eller minst en är noll):

$$D_f:xy\ge 0$$

---

3. Funktionens graf (Funktionsyta)

Definition

Grafen (funktionsytan) till $f(x,y)$ är mängden av alla punkter $(x,y,z)$ i ${\mathbb{R}}^3$ som uppfyller $z=f(x,y)$:

$$\boxed{\text{Graf}(f)=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=f(x,y),(x,y)\in D_f\}}$$

Grafen är en yta i det tredimensionella rummet med $D_f$ som “skugga” i $xy$-planet.

Exempel: Identifiera grafen

a) $f(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}$

Sätt $z=f(x,y)$. Eftersom $z\ge 0$ gäller:

$$z^2=9-x^2-y^2⟺x^2+y^2+z^2=9=3^2$$

Grafen är den övre halvsfären med radien 3.

---

b) $f(x,y)=x^2$

Oberoende av $y$: för $y=0$ ger $z=x^2$ en parabel. Extruderas längs $y$-axeln — en parabolisk rännform.

---

c) $f(x,y)=6-2x-3y$ (för $2x+3y\le 6$)

Skriv om: $2x+3y+z=6$ — ett plan i ${\mathbb{R}}^3$. Skärningar med koordinataxlarna: $(3,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,6)$.

Rotationsytor

En rotationsyta fås när en kurva $z=g(r)$ roteras kring $z$-axeln. Eftersom $r=\sqrt{x^2+y^2}$ gäller:

$$\boxed{z=g\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}$$

Exempel: Rotationsytor

Kon med höjd 6 och radien 2: profilkurvan $z=6-3r$ ger

$$z=6-3\sqrt{x^2+y^2},x^2+y^2\le 4$$

Rotationsparaboloid: profilkurvan $z=1+r^2$ ger

$$z=1+{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2=1+x^2+y^2$$

Ellipsoiden

En viktig yta som inte är en funktionsyta (den klarar inte vertikaltestet globalt):

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

med halvaxlar $a$, $b$, $c$ längs respektive koordinataxel.

---

4. Nivåkurvor

Definition

En nivåkurva (eng. level curve eller contour) till $f(x,y)$ för värdet $c$ är kurvan i $xy$-planet som ges av:

$$\boxed{f(x,y)=c}$$

Geometriskt: skär funktionsytan $z=f(x,y)$ med det horisontella planet $z=c$, och projicera snittet ned på $xy$-planet.

Nivåkurvor visualiseras som höjdkurvor på en topografisk karta — varje kurva representerar en konstant höjd.

Tänk topografi

Precis som en höjdkarta visar bergslandskap via höjdkurvor visar nivåkurvorna “topografin” hos $f$. Tätt liggande kurvor = brant lutning; glest liggande kurvor = flack yta.

Exempel: Rita nivåkurvor

Låt $f(x,y)=x^2+y^2$. Nivåkurvorna $f(x,y)=c$ ger:

$$x^2+y^2=c(c\ge 0)$$

Dessa är koncentriska cirklar med centrum i origo och radien $\sqrt{c}$. För $c=1,4,9$ fås cirklar med radierna $1,2,3$.

---

Låt $f(x,y)=6-2x-3y$. Nivåkurvorna ger:

$$6-2x-3y=c⟺2x+3y=6-c$$

Dessa är parallella räta linjer med lutningen $-\frac{2}{3}$.

---

5. Nivåytor

Definition

För en funktion av tre variabler $f(x,y,z)$ definieras en nivåyta (eng. level surface) för värdet $c$ som:

$$\boxed{f(x,y,z)=c}$$

Nivåytan är en yta i ${\mathbb{R}}^3$ — analogt med hur en nivåkurva är en kurva i ${\mathbb{R}}^2$.

Exempel: Nivåytor

a) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$

Nivåytorna $f=c$ (för $c>0$) ger:

$$x^2+y^2+z^2=c$$

Dessa är sfärer med centrum i origo och radien $\sqrt{c}$.

---

b) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, temperatur i ett rum — nivåytorna visar punkter med samma temperatur (isotermytor).

Sammanfattning: Dimension

Funktion	Nivåmängd	Geometri
$f(x,y)$	$f(x,y)=c$	Kurva i ${\mathbb{R}}^2$
$f(x,y,z)$	$f(x,y,z)=c$	Yta i ${\mathbb{R}}^3$

---

6. Det tredimensionella koordinatsystemet

För att beskriva funktionsytor arbetar vi i ${\mathbb{R}}^3$ med:

• Origo $O$
• Tre ortogonala enhetsbasvektorer ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ (längs $x$-, $y$-, $z$-axeln)
• En punkt $P$ beskrivs av sin lägesvektor $\vec{r}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2+z{\mathbf{e}}_3$

Avstånd från origo till punkten $(x,y,z)$:

$$|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

---

Läsning

• 13.1 Functions of Several Variables

Se även

• Nivåkurvor och ytor
• Parametriserade kurvor
• Elipsen

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Visualizing multivariable functions — visuell introduktion till flervariabelfunktioner
• Khan Academy: Multivariable functions — introduktion med exempel
• MIT OCW 18.02: Functions of several variables — föreläsningar från MIT

Interaktiva verktyg

• GeoGebra 3D Calculator — rita grafer $z=f(x,y)$ och nivåkurvor interaktivt
• Desmos 3D — utforska ytor och nivåkurvor
• CalcPlot3D — visualisera nivåkurvor och -ytor

Wikipedia

• Function of several real variables
• Level set
• Contour line

Fördjupning

• Immersive Math: Functions of Several Variables — interaktiv lärobok
• Paul’s Online Math Notes: Functions of Several Variables — tydliga anteckningar med exempel

Illustrationer

Kartesiskt koordinatsystem

Funktionsyta

Nivåkurvor